Questão 04: Responda se a soma dos U 's abaixo formam somas diretas.
U1=(x, y, 0) in R^3: x, y in R, U2=(0,0, z) in R^3: z in R, U3= (0, y, y) in R^3: y in R.

Passo 1

O enunciado define em R^3 três subespaços:
U1=(x,y,0):x,yinR, U2=(0,0,z):zinR, U3=(0,y,y):yinR
Vamos verificar se cada soma Ui+Uj (para ineq j) e a soma tripla U1+U2+U3 são diretas.
Recordando que, para dois subespaços A,B, temos Aoplus B se e somente se Acap B=0. Para três subespaços, U1oplus U2oplus U3 se a única forma de
u1+u2+u3=0, uiin Ui
for u1=u2=u3=0.

Passo 2

Calcular U1cap U2. Um vetor em U1 é (x,y,0) e em U2 é (0,0,z). Igualando:
(x,y,0)=(0,0,z) Longrightarrow x=0,;y=0,;0=z;Longrightarrow;(0,0,0)
Logo U1cap U2=0 e portanto
U1oplus U2

Passo 3

Calcular U1cap U3. Um vetor em U1 é (x,y,0) e em U3 é (0,y',y'). Igualando:
(x,y,0)=(0,y',y') Longrightarrow x=0,;y=y',;0=y';Longrightarrow;(0,0,0)
Logo U1cap U3=0 e portanto
U1oplus U3

Passo 4

Calcular U2cap U3. Um vetor em U2 é (0,0,z) e em U3 é (0,y,y). Igualando:
(0,0,z)=(0,y,y) Longrightarrow y=0,;z=0;Longrightarrow;(0,0,0)
Logo U2cap U3=0 e portanto
U2oplus U3

Passo 5

Verificar a soma tripla U1+U2+U3 quanto à directividade. Tome
u1=(x1,y1,0)in U1, u2=(0,0,z2)in U2, u3=(0,y3,y3)in U3
e imponha
u1+u2+u3=(x1,;y1+y3,;z2+y3)=0
Isso dá o sistema
x1=0, y1+y3=0, z2+y3=0
Escolhendo por exemplo y3=1 obtemos y1=-1 e z2=-1 com x1=0, todos não nulos. Assim há decomposição não trivial de zero, logo
U1+U2+U3
não é soma direta.

Resposta

U1 oplus U2: sim
U1 oplus U3: sim
U2 oplus U3: sim
U1 oplus U2 oplus U3: não

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