Questão 05 Para k >= 2 calcule A^k para:
A=(ll2 & 1 2 & 3) Esta matriz possui autovalores distintos lambda1=1 e lambda2=4 e seus autovetores, respectivamente, x^1=(-1,1)^T e x^2=(1,2)^T, geram o R^2. Então, vamos seguir os seguintes passos:
  • Passo 1: Vamos escrever as colunas de A, A1, A2, em função de x^1, x^2. A1=-23 x^1+43 x^2 e A2=13 x^1+43 x^2.
  • Passo 2: Vamos escrever A^k=A^k-1[A1, A2], em função de lambda1, lambda2 e x^1, x^2.
& A^k-1 A1=-23 lambda1^k-1 x^1+43 lambda2^k-1 x^2=13[c 2+2^2 k -2+2^2 k+1 ] & A^k-1 A2=13 lambda1^k-1 x^1+43 lambda2^k-1 x^2=13[c -1+2^2 k 1+2^2 k+1 ] & Logo, temos A^k=13[cc 2+2^2 k & -1+2^2 k -2+2^2 k+1 & 1+2^2 k+1 ]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de A^k para k>=2, onde
A = 2 & 12 & 3
tem autovalores lambda1=1, lambda2=4 e autovetores x^1=(-1,1)^T, x^2=(1,2)^T. Como os autovalores são distintos, podemos diagonalizar A escrevendo
A = P,D,P^-1,
com P=[,x^1;x^2] e D=diag(lambda1,lambda2), e usar
A^k = P,D^k,P^-1

Passo 2

Formamos
P = -1 & 1 1 & 2,
cujo determinante é det P = -3. Logo
P^-1 = 1det P2 & -1 -1 & -1 = 13-2 & 1 1 & 1

Passo 3

O bloco diagonal é
D = P^-1AP = 1 & 0 0 & 4,
então
D^k = 1^k & 0 0 & 4^k = 1 & 0 0 & 4^k

Passo 4

Calculamos
A^k = P,D^k,P^-1 = -1 & 1 1 & 2 1 & 0 0 & 4^k 13-2 & 1 1 & 1
Primeiro,
P,D^k = -1 & 4^k 1 & 2cdot4^k,
de onde
A^k = 13 -1 & 4^k 1 & 2cdot4^k -2 & 1 1 & 1 = 13 2 + 4^k & -1 + 4^k -2 + 2cdot4^k & 1 + 2cdot4^k

Resposta

A^k = 13 2 + 2^2k & -1 + 2^2k -2 + 2^2k+1 & 1 + 2^2k+1

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