Questão 05. (2,0 pontos) Considere a região limitada superiormente pelo plano z=3 e inferiormente pelo parabolóide z+x^{2}+y^{2}+3=0 contida no interior do cilindro de raio 2 centrado na origem
a) Escreva, sem calcular, a expressão do volume dessa região na forma de integral dupla iterada cartesiana.
b) Use coordenadas polares para calcular o volume dessa região.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região tridimensional limitada superiormente pelo plano z=3 e inferiormente pelo parabolóide z + x^{2}+y^{2}+3=0, e que está contida no interior do cilindro de raio 2 centrado na origem. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Superfície superior: z_{\text{top}} = 3.
  • Superfície inferior: a equação do parabolóide pode ser escrita isolando z:
z_{\text{bot}} = -x^{2}-y^{2}-3.
  • Região em xy: interior do cilindro de raio 2 centrado na origem, isto é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • O que se pede:
    (a) escrever, sem calcular, a expressão do volume como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas;
    (b) calcular o volume usando coordenadas polares.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida): o volume de uma região entre duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) sobre um domínio D no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área no plano xy (em coordenadas cartesianas dA=dx\,dy). Cada pedaço de área dA corresponde a um “prisminha” de altura z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}; somando (integrando) sobre todo D obtemos o volume.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema: o integrando é a altura
z_{\text{top}}-z_{\text{bot}} = 3 - \bigl(-x^{2}-y^{2}-3\bigr)=6 + x^{2}+y^{2}.
O domínio D é o disco x^{2}+y^{2}\le 4. Para escrever a integral dupla iterada em cartesianas (forma usual com x e y limites), podemos tomar x variando de -2 a 2 e, para cada x, y variando entre -\sqrt{4-x^{2}} e +\sqrt{4-x^{2}}. Assim a expressão pedida em (a) é
\int_{x=-2}^{2}\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\bigl(6+x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
(Isto responde a parte (a) — escrevi a integral iterada cartesiana sem calcular.)

Passo 4

Motivação para usar coordenadas polares: o domínio D é um disco centrado na origem — isso fica muito mais simples em polares, porque as curvas de nível de x^{2}+y^{2} são círculos. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z (ou seja, ao ponto (0,0) no plano) e \theta é o ângulo. Importante: o elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta,
porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta (essa é a famosa “jacobiana” r da transformação polar). Sempre que fizer a troca (x,y)\mapsto(r,\theta) multiplico o integrando por r.

Passo 5

Converter o integrando para coordenadas polares: como x^{2}+y^{2}=r^{2}, obtemos
6+x^{2}+y^{2}=6+r^{2}.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta, o integrando geral fica (6+r^{2})\,r=(6r + r^{3}).
Os limites em polares para o disco x^{2}+y^{2}\le 4 são
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto a integral em polares que dá o volume é
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(6r + r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora calculamos a integral iterada em polares passo a passo (faça isso com calma na prova):
Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2}\bigl(6r + r^{3}\bigr)\,dr
Usamos primitivas termo a termo. Lembre que a primitiva de r^{n} é \dfrac{r^{n+1}}{n+1}. Assim:
\int 6r\,dr = 6\cdot\frac{r^{2}}{2}=3r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}.
Portanto a primitiva do integrando é 3r^{2}+\dfrac{r^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 2:
\left[3r^{2}+\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = 3\cdot 2^{2} + \frac{2^{4}}{4} = 3\cdot 4 + \frac{16}{4} = 12 + 4 = 16.

Passo 7

Agora integramos em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 16\,d\theta = 16\cdot\bigl(2\pi - 0\bigr)=32\pi.
Esse é o volume numérico final. Parece razoável: é um múltiplo de \pi como costuma ocorrer em problemas com simetria circular.

Resposta

\displaystyle \text{(a) } \int_{x=-2}^{2}\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\bigl(6+x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
\displaystyle \text{(b) } V=32\pi

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