Questão 05. (2,0 pontos) Considere a região limitada superiormente pelo plano
e inferiormente pelo parabolóide
contida no interior do cilindro de raio 2 centrado na origem
a) Escreva, sem calcular, a expressão do volume dessa região na forma de integral dupla iterada cartesiana.
b) Use coordenadas polares para calcular o volume dessa região.
a) Escreva, sem calcular, a expressão do volume dessa região na forma de integral dupla iterada cartesiana.
b) Use coordenadas polares para calcular o volume dessa região.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região tridimensional limitada superiormente pelo plano
e inferiormente pelo parabolóide
, e que está contida no interior do cilindro de raio
centrado na origem. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Superfície superior:
. - Superfície inferior: a equação do parabolóide pode ser escrita isolando
:
- Região em
: interior do cilindro de raio centrado na origem, isto é o disco
- O que se pede:
(a) escrever, sem calcular, a expressão do volume como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas;
(b) calcular o volume usando coordenadas polares.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula rápida): o volume de uma região entre duas superfícies
e
sobre um domínio
no plano
é dado pela integral dupla
Aqui
representa um elemento de área no plano
(em coordenadas cartesianas
). Cada pedaço de área
corresponde a um “prisminha” de altura
; somando (integrando) sobre todo
obtemos o volume.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema: o integrando é a altura
O domínio
é o disco
. Para escrever a integral dupla iterada em cartesianas (forma usual com
e
limites), podemos tomar
variando de
a
e, para cada
,
variando entre
e
. Assim a expressão pedida em (a) é
(Isto responde a parte (a) — escrevi a integral iterada cartesiana sem calcular.)
Passo 4
Motivação para usar coordenadas polares: o domínio
é um disco centrado na origem — isso fica muito mais simples em polares, porque as curvas de nível de
são círculos. Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância ao eixo
(ou seja, ao ponto
no plano) e
é o ângulo. Importante: o elemento de área em coordenadas polares é
porque um pequeno retângulo em
tem área aproximadamente
(essa é a famosa “jacobiana”
da transformação polar). Sempre que fizer a troca
multiplico o integrando por
.
Passo 5
Converter o integrando para coordenadas polares: como
, obtemos
Multiplicando por
, o integrando geral fica
.
Os limites em polares para o disco
são
Portanto a integral em polares que dá o volume é
Passo 6
Agora calculamos a integral iterada em polares passo a passo (faça isso com calma na prova):
Calcule a integral interna em
:
Usamos primitivas termo a termo. Lembre que a primitiva de
é
. Assim:
Portanto a primitiva do integrando é
. Avaliando de
a
:
Passo 7
Agora integramos em
:
Esse é o volume numérico final. Parece razoável: é um múltiplo de
como costuma ocorrer em problemas com simetria circular.