Questão 03. (2,0 pontos) Considere a função z(x, y) implicitamente definida por z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}=18. Encontre o(s) plano(s) tangente(s) e reta(s) normal(is) no ponto (x, y)=(0,-2)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}=18
e pede os planos tangentes e as retas normais no ponto cujo par (x,y) é (0,-2).
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
  • A equação é uma superfície implícita em (x,y,z).
  • O enunciado só fornece x e y do ponto: (x,y)=(0,-2). Para obter pontos da superfície precisamos encontrar os valores de z que satisfazem a equação quando x=0 e y=-2.
  • Para obter plano tangente e reta normal em um ponto da superfície usaremos diferenciação implícita e o gradiente da função que define a superfície.

Passo 2

Encontrar os valores de z correspondentes a (x,y)=(0,-2). Substituindo x=0 e y=-2 na equação dada:
z\cdot 0^{2} - 0\cdot(-2)^{2} - (-2)\,z^{2} = 18.
Simplificando os termos: 0 - 0 + 2 z^{2} = 18, logo
2 z^{2} = 18 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad z=\pm 3.
Portanto há dois pontos da superfície com (x,y)=(0,-2), a saber (0,-2,3) e (0,-2,-3). Iremos tratar cada ponto separadamente.

Passo 3

Montar uma função F(x,y,z) cuja superfície é F=0. Defina
F(x,y,z)=z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}-18.
A normal à superfície F(x,y,z)=0 no ponto é o vetor gradiente \nabla F=(F_x,F_y,F_z). Além disso, se F_z\neq 0 no ponto, a função z pode ser localmente escrita como z(x,y) e as derivadas parciais de z vêm da diferenciação implícita. Para ver isso rapidamente, tome a diferencial total de F(x,y,z(x,y))=0:
F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz = 0.
Dividindo por dx e identificando dz = z_x dx + z_y dy ou isolando as derivadas, obtemos as fórmulas clássicas
z_x = -\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z},
avaliadas no ponto. Vou usar essas fórmulas — são resultado direto da diferenciação implícita e são muito práticas na prova.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de F (como funções de x,y,z, tratando x,y,z como independentes ao derivar):
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}-18\big) = 2xz - y^{2},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}-18\big) = -2xy - z^{2},
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\big(z x^{2}-x y^{2}-y z^{2}-18\big) = x^{2} - 2yz.
Agora vamos avaliar essas expressões nos pontos encontrados, onde x=0 e y=-2. Note que com x=0 muitas expressões simplificam.

Passo 5

Avaliar F_x,F_y,F_z em x=0, y=-2, e z=\pm 3.
  • Para x=0 temos F_x(0,-2,z)=2\cdot0\cdot z - (-2)^{2} = -4. Então F_x=-4 em ambos os pontos.
  • Para x=0 temos F_y(0,-2,z)=-2\cdot0\cdot(-2) - z^{2} = -z^{2} = -9. Então F_y=-9 em ambos os pontos.
  • Para x=0 temos F_z(0,-2,z)=0^{2} - 2(-2)z = 4z. Assim F_z=4z, que vale 12 quando z=3 e -12 quando z=-3. Como F_z\neq 0 em ambos, podemos usar as fórmulas para z_x,z_y.
Aplicando z_x=-F_x/F_z e z_y=-F_y/F_z:
z_x = -\frac{-4}{4z}=\frac{1}{z},\qquad z_y = -\frac{-z^{2}}{4z}=\frac{z}{4}.
Portanto, nos pontos:
  • Em (0,-2,3): \;z_x=\dfrac{1}{3},\quad z_y=\dfrac{3}{4}.
  • Em (0,-2,-3): \;z_x=-\dfrac{1}{3},\quad z_y=-\dfrac{3}{4}.

Passo 6

Escrever a equação do plano tangente na forma usual para gráfico z=z(x,y):
z - z_{0} = z_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + z_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aplicando em cada ponto:
  • Para (x_0,y_0,z_0)=(0,-2,3) e z_x=\tfrac{1}{3},\,z_y=\tfrac{3}{4}:
z-3 = \frac{1}{3}x + \frac{3}{4}(y+2).
(se preferir, pode-se multiplicar por 12 e reorganizar para obter coeficientes inteiros; uma forma equivalente é 4x+9y-12z+54=0.)
  • Para (x_0,y_0,z_0)=(0,-2,-3) e z_x=-\tfrac{1}{3},\,z_y=-\tfrac{3}{4}:
z+3 = -\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}(y+2).
(forma equivalente com coeficientes inteiros: 4x+9y+12z+54=0.)
Ambas as equações são planos tangentes às respectivas folhas da superfície nos pontos indicados.

Passo 7

Determinar as retas normais. A direção normal à superfície também é dada por \nabla F=(F_x,F_y,F_z) avaliado no ponto. Já calculamos:
\nabla F(0,-2,3)=(-4,-9,12),\qquad \nabla F(0,-2,-3)=(-4,-9,-12).
A reta normal numa forma paramétrica, partindo do ponto (x_0,y_0,z_0) com parâmetro t, é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0).
Assim:
  • Reta normal em (0,-2,3):
(x,y,z)=(0,-2,3)+t(-4,-9,12),
ou seja
x=-4t,\quad y=-2-9t,\quad z=3+12t.
  • Reta normal em (0,-2,-3):
(x,y,z)=(0,-2,-3)+t(-4,-9,-12),
ou seja
x=-4t,\quad y=-2-9t,\quad z=-3-12t.
Essas são as retas normais (a direção aponta segundo o gradiente; qualquer múltiplo não-nulo da direção também representa a mesma reta).

Resposta

Plano tangente em (0,-2,3): z-3=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{3}{4}(y+2).
Reta normal em (0,-2,3): (x,y,z)=(0,-2,3)+t(-4,-9,12), t\in\mathbb{R}.
Plano tangente em (0,-2,-3): z+3=-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}(y+2).
Reta normal em (0,-2,-3): (x,y,z)=(0,-2,-3)+t(-4,-9,-12), t\in\mathbb{R}.

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