Questão 03. (2,0 pontos) Considere a função
implicitamente definida por
. Encontre
plano(s) tangente(s) e reta(s) normal(is) no ponto
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede os planos tangentes e as retas normais no ponto cujo par
é
.
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
- A equação é uma superfície implícita em
. - O enunciado só fornece
e do ponto: . Para obter pontos da superfície precisamos encontrar os valores de que satisfazem a equação quando e . - Para obter plano tangente e reta normal em um ponto da superfície usaremos diferenciação implícita e o gradiente da função que define a superfície.
Passo 2
Encontrar os valores de
correspondentes a
. Substituindo
e
na equação dada:
Simplificando os termos:
, logo
Portanto há dois pontos da superfície com
, a saber
e
. Iremos tratar cada ponto separadamente.
Passo 3
Montar uma função
cuja superfície é
. Defina
A normal à superfície
no ponto é o vetor gradiente
. Além disso, se
no ponto, a função
pode ser localmente escrita como
e as derivadas parciais de
vêm da diferenciação implícita. Para ver isso rapidamente, tome a diferencial total de
:
Dividindo por
e identificando
ou isolando as derivadas, obtemos as fórmulas clássicas
avaliadas no ponto. Vou usar essas fórmulas — são resultado direto da diferenciação implícita e são muito práticas na prova.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
(como funções de
, tratando
como independentes ao derivar):
Agora vamos avaliar essas expressões nos pontos encontrados, onde
e
. Note que com
muitas expressões simplificam.
Passo 5
Avaliar
em
,
, e
.
- Para
temos Então em ambos os pontos. - Para
temos Então em ambos os pontos. - Para
temos Assim , que vale quando e quando . Como em ambos, podemos usar as fórmulas para .
Aplicando
e
:
Portanto, nos pontos:
- Em
: - Em
:
Passo 6
Escrever a equação do plano tangente na forma usual para gráfico
:
Aplicando em cada ponto:
- Para
e :
(se preferir, pode-se multiplicar por
e reorganizar para obter coeficientes inteiros; uma forma equivalente é
.)
- Para
e :
(forma equivalente com coeficientes inteiros:
.)
Ambas as equações são planos tangentes às respectivas folhas da superfície nos pontos indicados.
Passo 7
Determinar as retas normais. A direção normal à superfície também é dada por
avaliado no ponto. Já calculamos:
A reta normal numa forma paramétrica, partindo do ponto
com parâmetro
, é
Assim:
- Reta normal em
:
ou seja
- Reta normal em
:
ou seja
Essas são as retas normais (a direção aponta segundo o gradiente; qualquer múltiplo não-nulo da direção também representa a mesma reta).
Resposta
Plano tangente em
:
Reta normal em :
,
.
Plano tangente em :
Reta normal em :
,
.
Reta normal em
Plano tangente em
Reta normal em