Questão 01. Calcule o que se pede
(1,0 ponto) A derivada direcional da função
No ponto
e na direção do vetor
(1,0 ponto) A derivada direcional da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: calcular a derivada direcional da função
no ponto na direção do vetor . - Dados relevantes:
- A função
. - O ponto
. - O vetor direção
.
- A função
Passo 2
Fórmula e ideia principal (explicação didática):
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor é o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário na direção de . Ou seja,
- Aqui
é o vetor das derivadas parciais: e . - O vetor unitário
é dado por
onde
é a norma de
.
- Portanto precisamos calcular
, avaliar em , calcular e fazer o produto escalar.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (explicando passo a passo):
- Escrever
numa forma conveniente:
- Usar regra do produto e regra da cadeia para
: - Derivando em relação a
: - Primeiro termo: derivada de
em relação a é , multiplicada por . - Segundo termo:
vezes a derivada de em relação a . A derivada de é multiplicada pela derivada interna . - Então:
- Derivando em relação a
- Colocar sobre um denominador comum
:
- Pela simetria (ou repetindo o cálculo trocando
por ):
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
- Calcular
em :
- Calcular
:
- Portanto
- Logo o gradiente em
é
Passo 5
Calcular o vetor unitário na direção de
:
- Norma de
:
- Vetor unitário:
Passo 6
Produto escalar para obter a derivada direcional:
- Aplicar
:
- Calcular os produtos no numerador:
- Assim
Passo 7
Interpretação final rápida e aproximação decimal (para conferir):
- A derivada direcional é o número
. - Aproximação decimal:
- Bom trabalho: obtivemos o valor exato e uma aproximação numérica. Força nos estudos — já era meio caminho!