Questão 01. Calcule o que se pede
(1,0 ponto) A derivada direcional da função
f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
No ponto (x, y)=(5,12) e na direção do vetor \vec{u}=(7,24)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: calcular a derivada direcional da função f(x,y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} no ponto (x,y)=(5,12) na direção do vetor \vec{u}=(7,24).
  • Dados relevantes:
    • A função \;f(x,y)=x y (x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
    • O ponto (5,12).
    • O vetor direção \vec{u}=(7,24).

Passo 2

Fórmula e ideia principal (explicação didática):
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em (x_0,y_0) e o vetor unitário na direção de \vec{u}. Ou seja,
D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \widehat{\vec{u}}.
  • Aqui \nabla f=(f_x,f_y) é o vetor das derivadas parciais: f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} e f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • O vetor unitário \widehat{\vec{u}} é dado por
\widehat{\vec{u}}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|},
onde \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}} é a norma de \vec{u}.
  • Portanto precisamos calcular \nabla f(x,y), avaliar em (5,12), calcular \widehat{\vec{u}} e fazer o produto escalar.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (explicando passo a passo):
  • Escrever f numa forma conveniente:
f(x,y)=x y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
  • Usar regra do produto e regra da cadeia para f_x:
    • Derivando em relação a x:
    • Primeiro termo: derivada de x y em relação a x é y, multiplicada por (x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
    • Segundo termo: x y vezes a derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1/2} em relação a x. A derivada de (\cdot)^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}(\cdot)^{-3/2} multiplicada pela derivada interna 2x.
    • Então:
\begin{aligned} f_x(x,y)&=y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}+x y\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x\\[4pt] &=y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}-x^{2}y\,(x^{2}+y^{2})^{-3/2}. \end{aligned}
  • Colocar sobre um denominador comum (x^{2}+y^{2})^{3/2}:
\begin{aligned} f_x(x,y)&= \frac{y(x^{2}+y^{2}) - x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\\[4pt] &= \frac{y(x^{2}+y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\\[4pt] &= \frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}. \end{aligned}
  • Pela simetria (ou repetindo o cálculo trocando x por y):
f_y(x,y)=\frac{x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.]

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (5,12):
  • Calcular x^{2}+y^{2} em (5,12):
x^{2}+y^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169.
  • Calcular (x^{2}+y^{2})^{3/2}:
(x^{2}+y^{2})^{3/2}=169^{3/2}=169\cdot\sqrt{169}=169\cdot 13=2197.
  • Portanto
f_x(5,12)=\frac{12^{3}}{2197}=\frac{1728}{2197}, \qquad f_y(5,12)=\frac{5^{3}}{2197}=\frac{125}{2197}.
  • Logo o gradiente em (5,12) é
\nabla f(5,12)=\left(\frac{1728}{2197},\;\frac{125}{2197}\right).

Passo 5

Calcular o vetor unitário na direção de \vec{u}=(7,24):
  • Norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.
  • Vetor unitário:
\widehat{\vec{u}}=\left(\frac{7}{25},\;\frac{24}{25}\right).

Passo 6

Produto escalar para obter a derivada direcional:
  • Aplicar D_{\vec{u}}f(5,12)=\nabla f(5,12)\cdot \widehat{\vec{u}}:
\begin{aligned} D_{\vec{u}}f(5,12) &=\frac{1728}{2197}\cdot\frac{7}{25}+\frac{125}{2197}\cdot\frac{24}{25}\\[4pt] &=\frac{1}{25}\cdot\frac{7\cdot1728+24\cdot125}{2197}. \end{aligned}
  • Calcular os produtos no numerador:
7\cdot1728=12096,\qquad 24\cdot125=3000,\qquad 12096+3000=15096.
  • Assim
D_{\vec{u}}f(5,12)=\frac{15096}{25\cdot 2197}=\frac{15096}{54925}.]

Passo 7

Interpretação final rápida e aproximação decimal (para conferir):
  • A derivada direcional é o número \dfrac{15096}{54925}.
  • Aproximação decimal:
\frac{15096}{54925}\approx 0,27485.
  • Bom trabalho: obtivemos o valor exato e uma aproximação numérica. Força nos estudos — já era meio caminho!

Resposta

\dfrac{15096}{54925}\approx 0,27485

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