Questão 05 (Prof.Matheus Pinheiro)-

Considere uma região em que o potencial elétrico é uma função das coordenadas espaciais x e y(dadas em centímetros)e é obtido mediante a expressão: V(x, y)=-4 x^{2}-4 y^{2} .A intensidade do campo elétrico e o valor do ângulo que este descreve em relação a horizontal na posição x=1 \mathrm{~cm} e para V(x, y)=-16 \mathrm{~V} valem:
a) 16 \mathrm{~V} / \mathrm{cm} \mathrm{e} 30^{\circ}
b) 16 \mathrm{~V} / \mathrm{cm} \mathrm{e} 60^{\circ}
c) 8 \mathrm{~V} / \mathrm{cm} \mathrm{e} 30^{\circ}
d) 8 \mathrm{~V} / \mathrm{cm} \mathrm{e} 60^{\circ}
e) 32 \mathrm{~V} / \mathrm{cm} \mathrm{e} 45^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico em função das coordenadas x e y (em cm):
V(x,y) = -4x^2 - 4y^2.
Queremos a intensidade do campo elétrico \mathbf{E} e o ângulo que ele forma com a horizontal, na posição em que x=1 cm e V(x,y)=-16 V. Para isso, vamos usar a relação
\mathbf{E} = -\nabla V,
e em seguida resolver a condição V(1,y)=-16 para encontrar y.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial x} = -8x, \qquad \frac{\partial V}{\partial y} = -8y.
Logo, os componentes de \mathbf{E} são
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = 8x, \qquad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = 8y.

Passo 3

Impondo V(1,y)=-16, temos
-4\cdot1^2 \;-\;4y^2 = -16 \quad\Longrightarrow\quad -4 -4y^2 = -16 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 3
e portanto y = \pm\sqrt{3} cm. Vamos escolher y=+\sqrt{3} cm para obter o ângulo positivo acima da horizontal.

Passo 4

No ponto (1,\sqrt{3}) cm, os componentes de \mathbf{E} valem
E_x = 8\cdot1 = 8, \qquad E_y = 8\cdot\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.
A intensidade é
E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16 \quad\bigl[\mathrm{V/cm}\bigr].
O ângulo \theta medido da horizontal satisfaz
\tan\theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = 60^\circ.

Resposta

b) 16 V/cm e 60^\circ.

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