Questão 14 -

Uma partícula executa um movimento harmônico simples ao longo do eixo x, cuja velocidade é descrita pela equação v^{2}=8 b x-x^{2}-12 b^{2} . em que b é uma constante. Pode-se afirmar que a amplitude das oscilações dessa partícula vale:
a) b.
b) 2 b .
c) 3b.
d) 4 b .
d) 5 b .

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula faz movimento harmônico simples (MAS) ao longo de x e sua velocidade satisfaz
v^{2} = 8\,b\,x - x^{2} - 12\,b^{2},
onde b é constante. Em MAS, sabemos que
v^{2} = \omega^{2}\bigl(A^{2} - (x - x_{0})^{2}\bigr),
ou seja, quando x atinge os extremos da oscilação, v=0. Nosso objetivo é achar a amplitude A.

Passo 2

Para encontrar os pontos de inversão de movimento (extremos), basta pôr v^{2}=0 e resolver
0 = 8\,b\,x - x^{2} - 12\,b^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 8\,b\,x + 12\,b^{2} = 0.
As raízes dessa equação são
x = \frac{8\,b \pm \sqrt{(8\,b)^{2} - 4\cdot1\cdot12\,b^{2}}}{2} = \frac{8\,b \pm \sqrt{64\,b^{2} -48\,b^{2}}}{2} = \frac{8\,b \pm 4\,b}{2},
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x_{1} = 2\,b, \quad x_{2} = 6\,b.

Passo 3

O ponto de equilíbrio x_{0} em MAS é o ponto médio entre os extremos:
x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{2\,b + 6\,b}{2} = 4\,b.
A amplitude A é o deslocamento máximo em relação a x_{0}, ou seja,
A = x_{2} - x_{0} = 6\,b - 4\,b = 2\,b.

Resposta

A amplitude das oscilações vale 2\,b, alternativa (b).

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