Questão 05 - Seja uma partícula em movimento circular uniforme (MCU) ao redor da origem. Mostre que, para essa partícula:
a. a função horaria da posição é dada por
;
b. a função horaria da velocidade é dada por
;
c. a função horaria da aceleração
;
a. a função horaria da posição é dada por
b. a função horaria da velocidade é dada por
c. a função horaria da aceleração
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
- Temos uma partícula em movimento circular uniforme (MCU) ao redor da origem.
- O raio da trajetória é constante e igual a
. - A velocidade angular é constante e igual a
. - As direções cartesianas são dadas pelos vetores unitários
e .
O problema pede para mostrar explicitamente:
a. a função horária da posição;
b. a função horária da velocidade;
c. a função horária da aceleração.
Passo 2
Entendendo a parametrização do círculo e escrevendo a posição.
- Em MCU a partícula descreve um círculo de raio
. O ângulo polar que ela descreve em função do tempo é proporcional ao tempo quando é constante. Assim definimos o ângulo
assumindo fase inicial nula (isto é, em
temos
; se houvesse fase inicial
bastaria usar
).
- Em coordenadas cartesianas, dado um ângulo
medido a partir do eixo , as coordenadas do ponto no círculo de raio são
Essas fórmulas vêm da trigonometria básica: a projeção no eixo
de um raio que faz ângulo
com o eixo
é
, e a projeção no eixo
é
.
- Substituindo
e escrevendo em forma vetorial com os vetores unitários, obtemos a função horária da posição:
Isto responde a letra (a).
Passo 3
Revisão rápida das regras de derivação que vamos usar (cadeia e derivadas de seno e cosseno).
- Regra da cadeia: se
então . - Derivadas elementares:
Explicando em palavras: primeiro derivamos a função trigonométrica (por exemplo,
dá
), e depois multiplicamos pela derivada do argumento
, que é
.
Passo 4
Calculando a velocidade como derivada da posição (passo a passo).
- Partimos de
- Derivando componente a componente, usando as fórmulas do Passo 3:
- Portanto a velocidade é
- Observação física e verificação rápida: o módulo da velocidade é constante. Calculamos o módulo para checar:
Isto confirma que a velocidade é constante em módulo (MCU) e igual a
. Também podemos verificar que
, ou seja, a velocidade é tangencial (perpendicular ao raio): calculando o produto escalar rapidamente,
Passo 5
Calculando a aceleração como derivada da velocidade (passo a passo) e interpretando.
- Partimos de
- Derivando componente a componente, usando as mesmas regras:
- Assim a aceleração é
- Interpretação física:
. Ou seja, a aceleração aponta para o centro (negativa do vetor posição) e tem módulo constante
Também relacionamos com a velocidade: como
, temos
, que é a expressão do módulo da aceleração centrípeta em MCU.