Uma partícula num campo gravitacional uniforme está restrita à superfície de uma esfera centrada na origem. O raio da esfera varia com o tempo de uma forma especificada a priori: r=r(t) com r(t) uma função conhecida. Obtenha a hamiltoniana e as equações canônicas de Hamilton. A hamiltoniana é a energia total? Discuta a conservação da energia.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa m sujeita a um campo gravitacional uniforme (aceleração gravitacional de módulo g) e restrita a mover-se sobre a superfície de uma esfera centrada na origem cujo raio é uma função do tempo, conhecida previamente: r=r(t). O enunciado pede:
  • Obter a hamiltoniana (no sentido canônico, ou seja, a transformação de Legendre do lagrangiano reduzido) do sistema.
  • Obter as equações canônicas de Hamilton.
  • Responder se a hamiltoniana é a energia total do sistema e discutir conservação da energia.
Dados relevantes (lista):
  • A restrição holonômica é \rho := |\mathbf r| - r(t) = 0; portanto o movimento está sobre a esfera de raio r(t).
  • A coordenada radial é dada por r(t) (função conhecida), as coordenadas independentes que descrevem a posição na superfície podem ser tomadas como os ângulos esféricos \theta (colatitude) e \varphi (longitude).
  • O potencial gravitacional (energia potencial) pode ser tomado como V = m g z. Usando coordenadas esféricas, z = r(t)\cos\theta, logo V(\theta,t)=m g r(t)\cos\theta.
  • A massa da partícula é m e g é constante.

Passo 2

Escolha de coordenadas e expressão do vetor posição.
  • Como a partícula está sobre a superfície esférica, a escolha natural é usar os ângulos esféricos \theta e \varphi como coordenadas generalizadas. A posição em termos de \theta,\varphi e do raio conhecido r(t) é
\mathbf r(t)=\big(r(t)\sin\theta\cos\varphi,\; r(t)\sin\theta\sin\varphi,\; r(t)\cos\theta\big).
  • Vou explicar por que isso basta: a restrição fixa o módulo de \mathbf r em r(t), então restam duas variáveis independentes (graus de liberdade) que parametram a superfície — precisamente \theta e \varphi.

Passo 3

Cálculo da energia cinética T (a parte mecânica que envolve velocidades).
  • Regra prática: se \mathbf r = r(t)\,\hat r(\theta,\varphi), então \dot{\mathbf r} = \dot r\,\hat r + r\,\dot{\hat r} e \hat r\cdot\dot{\hat r}=0. Assim
\dot{\mathbf r}^2 = \dot r^{\,2} + r^{2}\big(\dot\theta^{2} + \sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\big).
  • Aqui \dot r é a derivada temporal conhecida de r(t); \dot\theta e \dot\varphi são as velocidades generalizadas.
  • Portanto a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf r}^2=\frac{1}{2}m\Big(\dot r^{\,2}(t) + r^{2}(t)\big(\dot\theta^{2} + \sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\big)\Big).
  • Observação didática: mesmo que r não seja uma coordenada dinâmica (é uma função dada do tempo), \dot r entra como termo conhecido em T e torna o lagrangiano explicitamente dependente do tempo.

Passo 4

Expressão do potencial e do lagrangiano L.
  • Usando z=r(t)\cos\theta, a energia potencial gravitacional (escolhendo referência arbitrária) é
V(\theta,t)=m g r(t)\cos\theta.
  • O lagrangiano (na forma usual L=T-V) do sistema reduzido (variáveis \theta,\varphi) é
L(\theta,\varphi,\dot\theta,\dot\varphi,t)=\frac{1}{2}m\Big(\dot r^{\,2}(t) + r^{2}(t)\big(\dot\theta^{2} + \sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\big)\Big) - m g r(t)\cos\theta.
  • Observação didática: L depende explicitamente do tempo via r(t) e \dot r(t). Isso é crucial para conservação de energia.

Passo 5

Cálculo dos momentos canônicos (momentos conjugados).
  • Definição: o momento conjugado a uma coordenada q^i é p_i=\partial L/\partial\dot q^i. Aplicando a \theta e \varphi:
p_\theta=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=m r^{2}(t)\,\dot\theta,
p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}=m r^{2}(t)\sin^{2}\theta\,\dot\varphi.
  • Interpretação física: p_\varphi é o momento angular em torno do eixo z (com o fator r^2\sin^2\theta característico); a presença de r(t) faz com que os momentos dependam explicitamente do tempo através do fator geométrico r^2(t).

Passo 6

Legendre transform: construção da hamiltoniana H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi,t).
  • Definição canônica: H = p_\theta\dot\theta + p_\varphi\dot\varphi - L, com \dot\theta e \dot\varphi expressos em função dos momentos.
  • Primeiro escrevemos \dot\theta e \dot\varphi em função dos momentos:
\dot\theta=\frac{p_\theta}{m r^{2}(t)},\qquad \dot\varphi=\frac{p_\varphi}{m r^{2}(t)\sin^{2}\theta}.
  • Substituindo em p\dot q - L (faça com calma: calcule p_\theta\dot\theta+p_\varphi\dot\varphi e subtraia L):
H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi,t) =\frac{p_\theta^{2}}{2m r^{2}(t)}+\frac{p_\varphi^{2}}{2m r^{2}(t)\sin^{2}\theta}+m g r(t)\cos\theta-\frac{1}{2}m\dot r^{\,2}(t).
  • Observação e verificação: o primeiro dois termos são a energia cinética angular reescrita em termos dos momentos; o terceiro é o potencial; o último termo -\tfrac12 m\dot r^{2}(t) aparece porque \tfrac12 m\dot r^{2}(t) estava em L e não envolve as velocidades generalizadas — é um termo apenas temporal que permanece na transformação de Legendre com sinal negativo.

Passo 7

Comentário didático sobre o que é a hamiltoniana.
  • A hamiltoniana é a transformada de Legendre do lagrangiano reduzido nas coordenadas dinâmicas escolhidas. Não é automaticamente “a energia total” em todos os casos; ela coincide com a energia mecânica total E=T+V somente quando o lagrangiano tem a forma natural L=T-V com T quadrático nas velocidades e sem termos explícitos em tempo que não sejam via coordenadas-dinâmicas; e especialmente quando não há dependência explícita do tempo nos parâmetros geométricos do sistema.
  • No nosso caso o sistema tem dependência explícita do tempo através de r(t) e \dot r(t). Por isso a hamiltoniana que encontramos difere da energia mecânica total por um termo dependente de \dot r^{2}(t), como mostra a relação abaixo.

Passo 8

Relação entre a hamiltoniana encontrada e a energia mecânica total E=T+V.
  • Escrevendo explicitamente a energia total
E=T+V=\frac{1}{2}m\dot r^{\,2}(t)+\frac{1}{2}m r^{2}(t)\big(\dot\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\big)+m g r(t)\cos\theta,
e comparando com a hamiltoniana obtida, encontra-se a relação simples
H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi,t)=E - m\dot r^{\,2}(t).
  • Conclusão rápida: a hamiltoniana não é a energia total E aqui; ela difere por -m\dot r^{2}(t), que é uma função apenas do tempo (pois r(t) é dada).

Passo 9

Obtenção das equações canônicas de Hamilton.
  • As equações canônicas são, para cada coordenada generalizada q^i e seu momento p_i:
\dot q^i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}.
  • Aplicando a q^1=\theta, q^2=\varphi e usando a hamiltoniana do Passo 6, obtemos:
  1. Para \theta:
\dot\theta=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{m r^{2}(t)}.
  1. Para \varphi:
\dot\varphi=\frac{\partial H}{\partial p_\varphi}=\frac{p_\varphi}{m r^{2}(t)\sin^{2}\theta}.
  1. Para p_\theta:
\dot p_\theta=-\frac{\partial H}{\partial\theta} =\frac{p_\varphi^{2}\cos\theta}{m r^{2}(t)\sin^{3}\theta}+m g r(t)\sin\theta.
(Detalhe do cálculo: \partial/\partial\theta do termo com p_\varphi^2 -p_\varphi^2\cos\theta/(m r^2\sin^3\theta); do potencial dá -m g r\sin\theta; somando e com o sinal menos resulta no termo acima.)
  1. Para p_\varphi:
\dot p_\varphi=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0,
pois H não depende de \varphi. Isto significa que p_\varphi (o momento angular em torno do eixo z) é conservado — consequência da simetria azimutal (invariância por rotação em torno de z).

Passo 10

Discussão sobre conservação de energia e interpretação física.
  • Como r(t) é uma função prescrita do tempo, o lagrangiano (e portanto a hamiltoniana) depende explicitamente do tempo. Pela regra geral, se \partial H/\partial t\neq 0 então H não é conservada. Aqui há dependência explícita via r(t) e \dot r(t), logo em geral \dot H\neq 0.
  • A energia mecânica total E também não é, em geral, conservada: a restrição móvel (a esfera que muda de raio) pode realizar trabalho sobre a partícula (por exemplo, se o raio diminui, energia pode ser transferida para as componentes angulares), o que causa variação de E.
  • Casos particulares:
    • Se r(t) for constante (a esfera fixa), então \dot r(t)=0 e r(t)=R constante; o lagrangiano deixa de depender explicitamente do tempo, a hamiltoniana coincide com a energia total E (já que o termo -\tfrac12 m\dot r^{2} some) e essa energia é conservada.
    • Mesmo se r(t) variar, pode haver situações especiais (por exemplo, movimentos ajustados) onde a energia muda de forma particular, mas em geral não há conservação.
  • Em resumo: a hamiltoniana encontrada não é a energia total; e tanto H quanto E variam no tempo em geral, porque a restrição móvel realiza trabalho na partícula.

Resposta

H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi,t)=\frac{p_\theta^{2}}{2m r^{2}(t)}+\frac{p_\varphi^{2}}{2m r^{2}(t)\sin^{2}\theta}+m g r(t)\cos\theta-\frac{1}{2}m\dot r^{\,2}(t)
\dot\theta=\frac{p_\theta}{m r^{2}(t)},\qquad \dot\varphi=\frac{p_\varphi}{m r^{2}(t)\sin^{2}\theta}
\dot p_\theta=\frac{p_\varphi^{2}\cos\theta}{m r^{2}(t)\sin^{3}\theta}+m g r(t)\sin\theta,\qquad \dot p_\varphi=0
Não, a hamiltoniana não é a energia mecânica total aqui; a relação é
H=E - m\dot r^{\,2}(t),
onde E=T+V é a energia mecânica total. Em geral nem H nem E são conservadas porque a restrição r(t) depende explicitamente do tempo e pode realizar trabalho sobre a partícula; a energia só é conservada no caso particular r(t)= constante.

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