Uma partícula num campo gravitacional uniforme está restrita à superfície de uma esfera centrada na origem. O raio da esfera varia com o tempo de uma forma especificada
priori:
com
uma função conhecida. Obtenha a hamiltoniana e as equações canônicas de Hamilton. A hamiltoniana é a energia total? Discuta a conservação da energia.
Passo 1
O enunciado nos dá uma partícula de massa
sujeita a um campo gravitacional uniforme (aceleração gravitacional de módulo
) e restrita a mover-se sobre a superfície de uma esfera centrada na origem cujo raio é uma função do tempo, conhecida previamente:
. O enunciado pede:
- Obter a hamiltoniana (no sentido canônico, ou seja, a transformação de Legendre do lagrangiano reduzido) do sistema.
- Obter as equações canônicas de Hamilton.
- Responder se a hamiltoniana é a energia total do sistema e discutir conservação da energia.
Dados relevantes (lista):
- A restrição holonômica é
; portanto o movimento está sobre a esfera de raio . - A coordenada radial é dada por
(função conhecida), as coordenadas independentes que descrevem a posição na superfície podem ser tomadas como os ângulos esféricos (colatitude) e (longitude). - O potencial gravitacional (energia potencial) pode ser tomado como
. Usando coordenadas esféricas, , logo . - A massa da partícula é
e é constante.
Passo 2
Escolha de coordenadas e expressão do vetor posição.
- Como a partícula está sobre a superfície esférica, a escolha natural é usar os ângulos esféricos
e como coordenadas generalizadas. A posição em termos de e do raio conhecido é
- Vou explicar por que isso basta: a restrição fixa o módulo de
em , então restam duas variáveis independentes (graus de liberdade) que parametram a superfície — precisamente e .
Passo 3
Cálculo da energia cinética
(a parte mecânica que envolve velocidades).
- Regra prática: se
, então e . Assim
- Aqui
é a derivada temporal conhecida de ; e são as velocidades generalizadas. - Portanto a energia cinética é
- Observação didática: mesmo que
não seja uma coordenada dinâmica (é uma função dada do tempo), entra como termo conhecido em e torna o lagrangiano explicitamente dependente do tempo.
Passo 4
Expressão do potencial e do lagrangiano
.
- Usando
, a energia potencial gravitacional (escolhendo referência arbitrária) é
- O lagrangiano (na forma usual
) do sistema reduzido (variáveis ) é
- Observação didática:
depende explicitamente do tempo via e . Isso é crucial para conservação de energia.
Passo 5
Cálculo dos momentos canônicos (momentos conjugados).
- Definição: o momento conjugado a uma coordenada
é . Aplicando a e :
- Interpretação física:
é o momento angular em torno do eixo (com o fator característico); a presença de faz com que os momentos dependam explicitamente do tempo através do fator geométrico .
Passo 6
Legendre transform: construção da hamiltoniana
.
- Definição canônica:
, com e expressos em função dos momentos. - Primeiro escrevemos
e em função dos momentos:
- Substituindo em
(faça com calma: calcule e subtraia ):
- Observação e verificação: o primeiro dois termos são a energia cinética angular reescrita em termos dos momentos; o terceiro é o potencial; o último termo
aparece porque estava em e não envolve as velocidades generalizadas — é um termo apenas temporal que permanece na transformação de Legendre com sinal negativo.
Passo 7
Comentário didático sobre o que é a hamiltoniana.
- A hamiltoniana é a transformada de Legendre do lagrangiano reduzido nas coordenadas dinâmicas escolhidas. Não é automaticamente “a energia total” em todos os casos; ela coincide com a energia mecânica total
somente quando o lagrangiano tem a forma natural com quadrático nas velocidades e sem termos explícitos em tempo que não sejam via coordenadas-dinâmicas; e especialmente quando não há dependência explícita do tempo nos parâmetros geométricos do sistema. - No nosso caso o sistema tem dependência explícita do tempo através de
e . Por isso a hamiltoniana que encontramos difere da energia mecânica total por um termo dependente de , como mostra a relação abaixo.
Passo 8
Relação entre a hamiltoniana encontrada e a energia mecânica total
.
- Escrevendo explicitamente a energia total
e comparando com a hamiltoniana obtida, encontra-se a relação simples
- Conclusão rápida: a hamiltoniana não é a energia total
aqui; ela difere por , que é uma função apenas do tempo (pois é dada).
Passo 9
Obtenção das equações canônicas de Hamilton.
- As equações canônicas são, para cada coordenada generalizada
e seu momento :
- Aplicando a
, e usando a hamiltoniana do Passo 6, obtemos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Detalhe do cálculo:
do termo com
dá
; do potencial dá
; somando e com o sinal menos resulta no termo acima.)
- Para
:
pois
não depende de
. Isto significa que
(o momento angular em torno do eixo
) é conservado — consequência da simetria azimutal (invariância por rotação em torno de
).
Passo 10
Discussão sobre conservação de energia e interpretação física.
- Como
é uma função prescrita do tempo, o lagrangiano (e portanto a hamiltoniana) depende explicitamente do tempo. Pela regra geral, se então não é conservada. Aqui há dependência explícita via e , logo em geral . - A energia mecânica total
também não é, em geral, conservada: a restrição móvel (a esfera que muda de raio) pode realizar trabalho sobre a partícula (por exemplo, se o raio diminui, energia pode ser transferida para as componentes angulares), o que causa variação de . - Casos particulares:
- Se
for constante (a esfera fixa), então e constante; o lagrangiano deixa de depender explicitamente do tempo, a hamiltoniana coincide com a energia total (já que o termo some) e essa energia é conservada. - Mesmo se
variar, pode haver situações especiais (por exemplo, movimentos ajustados) onde a energia muda de forma particular, mas em geral não há conservação.
- Se
- Em resumo: a hamiltoniana encontrada não é a energia total; e tanto
quanto variam no tempo em geral, porque a restrição móvel realiza trabalho na partícula.
Resposta
Não, a hamiltoniana não é a energia mecânica total aqui; a relação é
onde
é a energia mecânica total. Em geral nem
nem
são conservadas porque a restrição
depende explicitamente do tempo e pode realizar trabalho sobre a partícula; a energia só é conservada no caso particular
constante.