Questão 05 - Use \mu_{i}=\mu_{i}{ }^{\circ}+\mathrm{RT} \ln \left(\mathrm{P} / \mathrm{P}^{\circ}\right) para calcular o \Delta \mathrm{G} quando a pressão de 3,00 mols de um gás ideal puro sofre diminuição isotérmica de 2,0 bar para 1,0 bar a 400 K .

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos dão: calcular \Delta G para a variação isoterma da pressão de um gás ideal puro. Dados (retirados do enunciado):
  • quantidade de substância: n=3{,}00\\ \mathrm{mol};
  • pressão inicial: P_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar};
  • pressão final: P_{2}=1{,}0\\ \mathrm{bar};
  • temperatura: T=400\\ \mathrm{K}.
    O enunciado indica usar a expressão \mu_{i}=\mu_{i}^{\circ}+RT\ln\!\bigl(P/P^{\circ}\bigr).

Passo 2

Entendendo a fórmula da energia química (potencial químico) para um gás ideal:
\mu=\mu^{\circ}+RT\ln\!\left(\dfrac{P}{P^{\circ}}\right).
Explicação dos símbolos:
  • \mu é o potencial químico do gás nas condições dadas (energia molar livre);
  • \mu^{\circ} é o potencial químico padrão (valor para alguma pressão de referência P^{\circ});
  • R é a constante universal dos gases, com unidades \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K};
  • P é a pressão do gás e P^{\circ} é a pressão padrão (qualquer escolha de P^{\circ} serve, porque só aparecem razões P/P^{\circ}, e elas se cancelam em diferenças).
Observação prática importante: a razão P/P^{\circ} é adimensional, por isso não é necessário converter bar para Pa ao formar a razão P_{2}/P_{1} (as unidades se cancelam). O que importa é usar R em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} para que o resultado de \Delta G saia em joules.

Passo 3

Conectando potencial químico à energia livre de Gibbs de um sistema puro: para um gás ideal puro
G=n\mu.
Portanto a variação de energia livre entre o estado 1 e o estado 2 (à mesma temperatura) é
\Delta G = G_{2}-G_{1}=n(\mu_{2}-\mu_{1}).
Substituindo a expressão de \mu:
\mu_{2}-\mu_{1}=RT\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P^{\circ}}\right)-RT\ln\!\left(\dfrac{P_{1}}{P^{\circ}}\right)=RT\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right),
pois os termos \mu^{\circ} e RT\ln(P^{\circ}) se cancelam. Logo a fórmula prática que usaremos é
\boxed{\displaystyle \Delta G = nRT\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right).}
Isso é uma fórmula padrão para variação de energia livre de um gás ideal em processo isotérmico (mudança de pressão).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados. Primeiro calcule a razão de pressões:
\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1{,}0}{2{,}0}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2\approx -0{,}6931471806.
Escolhemos R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Calcule nRT:
RT=8{,}314462618\times 400 = 3325{,}7850472\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},
nRT=3{,}00\times 3325{,}7850472 = 9977{,}3551416\\ \mathrm{J}.
Agora multiplicamos pelo logaritmo:
\Delta G = 9977{,}3551416 \times \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =9977{,}3551416\times(-0{,}6931471806)\approx -6915{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Arredondando com número de algarismos significativos compatível com os dados (os dados têm tipicamente 3 algarismos significativos para n=3{,}00 e T=400, 2 para as pressões; uma apresentação com 3 algarismos significativos é razoável), obtemos
\Delta G \approx -6{,}92\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = -6{,}92\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação rápida (didática): o sinal negativo indica que a variação de energia livre do sistema é negativa ao expandir/abaixar a pressão isoterma — ou seja, a mudança de estado do gás sob essas condições reduz a energia livre do sistema.

Resposta

\Delta G = -6{,}92\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = -6{,}92\\ \mathrm{kJ}

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