QUESTÃO 05 (Valor: 11,0 pontos) - O resfriamento de uma bola de metal é gerado pela função T(t)=c \cdot e^{k t}+20, em que:
  • c e k são constantes;
  • t indica o tempo (em minutos);
  • 20 é a temperatura do ar ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} );
  • T(t) indica a temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) no instante t.
Sabendo que a temperatura da bola inicialmente era de 100^{\circ} \mathrm{C} e passados 20 minutos a sua temperatura era de 60^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
A) as constantescek.
B) Qual a temperatura da bola de metal quando o tempo for de 40 minutos?

Passo 1

O enunciado dá a função de resfriamento
T(t)=c\cdot e^{k t}+20,
com c e k constantes, t em minutos, a temperatura do ar igual a 20\\ ^\circ\mathrm{C} e T(t) a temperatura da bola em ^\circ\mathrm{C}. São fornecidos os dados:
T(0)=100\\ ^\circ\mathrm{C},
T(20)=60\\ ^\circ\mathrm{C}.
As perguntas são:
A) determinar as constantes c e k;
B) calcular a temperatura da bola quando t=40 minutos.

Passo 2

Primeiro usamos o dado inicial T(0)=100. Vou substituir t=0 na fórmula e explicar cada passo. Lembre que e^{0}=1. Substituindo:
T(0)=c\cdot e^{k\cdot 0}+20 = c\cdot 1 +20 = c+20.
Como T(0)=100, temos a equação
c+20=100.
Agora isolamos c: subtrai-se 20 de ambos os lados:
c = 100-20 = 80.
Interpretação rápida: c representa quanto acima da temperatura ambiente estava a bola no instante zero (a diferença inicial), por isso c=80 faz sentido: 100-20=80.

Passo 3

Agora usemos T(20)=60. Substituo t=20 e c=80 na expressão e explico o raciocínio:
T(20)=80\cdot e^{20k}+20.
Como T(20)=60, obtemos a equação
80\cdot e^{20k}+20=60.
Isolando o termo exponencial: subtraio 20 de ambos os lados,
80\cdot e^{20k}=60-20=40.
Divido ambos os lados por 80 para ficar só o exponencial:
e^{20k}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora precisamos resolver a equação exponencial e^{20k}=\tfrac{1}{2} para k. A operação padrão é aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados, porque \ln(e^{x})=x. Tomando \ln:
\ln\bigl(e^{20k}\bigr)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Pelo lado esquerdo isso vira 20k. Pelo lado direito, recorde que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 (porque \tfrac{1}{2}=2^{-1} e \ln(2^{-1})=-\ln 2). Assim:
20k = -\ln 2.
Isolando k, dividimos por 20:
k = -\dfrac{\ln 2}{20}.
Se quiser uma aproximação decimal (útil para entender a ordem de grandeza), saiba que \ln 2\approx 0{,}693147, então
k \approx -0{,}693147/20 \approx -0{,}034657.
Mas a forma exata -\dfrac{\ln 2}{20} é preferível e mais limpa.

Passo 5

Recapitulação dos resultados até aqui: encontramos
c=80,\qquad k=-\dfrac{\ln 2}{20}.
Isso responde a letra A. Agora vamos calcular a temperatura em t=40 minutos (letra B). Substituo esses valores em T(t):
T(40)=80\cdot e^{40k}+20.
Em vez de calcular e^{40k} diretamente, podemos usar uma propriedade prática das exponenciais: e^{40k}=(e^{20k})^{2}. Já sabemos por um passo anterior que e^{20k}=\tfrac{1}{2}. Portanto:
e^{40k}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Substituindo de volta:
T(40)=80\cdot \tfrac{1}{4}+20 = 80\cdot 0{,}25 +20 =20+20 =40.
Conclusão: a temperatura da bola após 40 minutos é 40\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Breve interpretação física (para fixar): o modelo tem a temperatura do ar como assimptota ( 20\\ ^\circ\mathrm{C}). A constante k negativa mostra que a diferença entre a bola e o ar decai exponencialmente; aqui a cada 20 minutos a diferença é reduzida pela metade (porque e^{20k}=1/2), daí em 40 minutos a diferença inicial foi reduzida a um quarto, o que levou a bola de 100\\ ^\circ\mathrm{C} a 40\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A) c=80,\; k=-\dfrac{\ln 2}{20}.
B) T(40)=40\\ ^\circ\mathrm{C}.

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