QUESTÃO 05 (Valor: 11,0 pontos) - O resfriamento de uma bola de metal é gerado pela função
, em que:
-
e
são constantes;
-
indica o tempo (em minutos);
- 20 é a temperatura do ar (
);
-
indica a temperatura (em
) no instante
.
Sabendo que a temperatura da bola inicialmente era de
e passados 20 minutos a sua temperatura era de
, calcule:
A) as constantescek.
B) Qual a temperatura da bola de metal quando o tempo for de 40 minutos?
A) as constantescek.
B) Qual a temperatura da bola de metal quando o tempo for de 40 minutos?
Passo 1
O enunciado dá a função de resfriamento
com
e
constantes,
em minutos, a temperatura do ar igual a
e
a temperatura da bola em
. São fornecidos os dados:
As perguntas são:
A) determinar as constantes e
;
B) calcular a temperatura da bola quando minutos.
A) determinar as constantes
B) calcular a temperatura da bola quando
Passo 2
Primeiro usamos o dado inicial
. Vou substituir
na fórmula e explicar cada passo. Lembre que
. Substituindo:
Como
, temos a equação
Agora isolamos
: subtrai-se
de ambos os lados:
Interpretação rápida:
representa quanto acima da temperatura ambiente estava a bola no instante zero (a diferença inicial), por isso
faz sentido:
.
Passo 3
Agora usemos
. Substituo
e
na expressão e explico o raciocínio:
Como
, obtemos a equação
Isolando o termo exponencial: subtraio
de ambos os lados,
Divido ambos os lados por
para ficar só o exponencial:
Passo 4
Agora precisamos resolver a equação exponencial
para
. A operação padrão é aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados, porque
. Tomando
:
Pelo lado esquerdo isso vira
. Pelo lado direito, recorde que
(porque
e
). Assim:
Isolando
, dividimos por
:
Se quiser uma aproximação decimal (útil para entender a ordem de grandeza), saiba que
, então
Mas a forma exata
é preferível e mais limpa.
Passo 5
Recapitulação dos resultados até aqui: encontramos
Isso responde a letra A. Agora vamos calcular a temperatura em
minutos (letra B). Substituo esses valores em
:
Em vez de calcular
diretamente, podemos usar uma propriedade prática das exponenciais:
. Já sabemos por um passo anterior que
. Portanto:
Substituindo de volta:
Conclusão: a temperatura da bola após
minutos é
.
Passo 6
Breve interpretação física (para fixar): o modelo tem a temperatura do ar como assimptota (
). A constante
negativa mostra que a diferença entre a bola e o ar decai exponencialmente; aqui a cada
minutos a diferença é reduzida pela metade (porque
), daí em
minutos a diferença inicial foi reduzida a um quarto, o que levou a bola de
a
.
Resposta
A)
.
B) .
B)