QUESTÃO 04 (Enem PPL 2013 - adaptada)_(Valor: 10,0 pontos) - Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro, em reais, é dado pela expressão \boldsymbol{L}(\boldsymbol{x})=-\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{1 2} \boldsymbol{x}-\mathbf{2 0}, onde \boldsymbol{x} representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.
A) Qual o número de bonés que deve existir em cada pacote para se obter o lucro máximo?
B) Qual será o valor deste lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá a função lucro e pede duas coisas. Dados fornecidos:
L(x) = -x^{2} + 12x - 20,
onde x representa a quantidade de bonés por pacote.
Perguntas:
A) Qual o número de bonés por pacote que maximiza o lucro?
B) Qual é o valor desse lucro máximo?

Passo 2

Entendendo o tipo de função e o que isso implica (aula rápida e calma).
Uma função quadrática tem a forma geral
f(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são constantes. Aqui a determina a concavidade da parábola:
  • se a>0, a parábola abre para cima e a função tem um mínimo;
  • se a<0, a paráola abre para baixo e a função tem um máximo.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos a=-1, b=12 e c=-20. Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e, portanto, existe um único valor de x que dá o lucro máximo: esse valor é o vértice da parábola.
Além disso, há duas maneiras simples de encontrar o vértice: (i) usar a fórmula do eixo de simetria x=-\dfrac{b}{2a} ou (ii) completar o quadrado para escrever L(x) na forma vértice -(x-h)^{2}+k, de onde o vértice é em x=h com valor k. Vou fazer as duas coisas para você aprender as duas técnicas.

Passo 3

Usando a fórmula do eixo de simetria (método rápido). A abscissa do vértice é
x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=12, então
x_{v} = -\dfrac{12}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{12}{-2} = 6.
Portanto a quantidade de bonés por pacote que maximiza o lucro é \,6.

Passo 4

Agora completar o quadrado para mostrar de onde vem o lucro máximo (método que também dá o valor máximo direto). Partimos de
L(x) = -x^{2}+12x-20.
Fatoramos o coeficiente de x^{2} dos dois primeiros termos:
L(x) = -\bigl(x^{2}-12x\bigr)-20.
Para completar o quadrado dentro do parêntese, lembramos que x^{2}-12x = x^{2}-12x+36-36 = (x-6)^{2}-36. Substituindo:
L(x) = -\bigl((x-6)^{2}-36\bigr)-20.
Distribuindo o sinal negativo:
L(x) = - (x-6)^{2} +36 -20.
Somando os termos constantes:
L(x) = - (x-6)^{2} +16.

Passo 5

Interpretação do resultado da forma completada. A expressão
L(x) = - (x-6)^{2} +16
mostra claramente que -(x-6)^{2} é sempre menor ou igual a 0, porque um quadrado é não negativo. O maior valor que -(x-6)^{2} pode ter é 0, que ocorre quando (x-6)^{2}=0, isto é, quando x=6. Nesse caso
L(6) = - (6-6)^{2} +16 = 0 +16 = 16.
Verificação por substituição direta (opcional, só pra garantir):
L(6) = -6^{2}+12\cdot 6 -20 = -36 +72 -20 = 36 -20 = 16.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática (sussa, você conseguiu!).
  • A quantidade de bonés por pacote que dá o lucro máximo é \,6.
  • O lucro máximo obtido é \,R\$16.

Resposta

A) 6 bonés por pacote
B) R\$16

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