QUESTÃO 04 (Enem PPL 2013 - adaptada)_(Valor: 10,0 pontos) - Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro, em reais, é dado pela expressão
, onde
representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.
A) Qual o número de bonés que deve existir em cada pacote para se obter o lucro máximo?
B) Qual será o valor deste lucro máximo?
A) Qual o número de bonés que deve existir em cada pacote para se obter o lucro máximo?
B) Qual será o valor deste lucro máximo?
Passo 1
O enunciado dá a função lucro e pede duas coisas. Dados fornecidos:
onde
representa a quantidade de bonés por pacote.
Perguntas:
A) Qual o número de bonés por pacote que maximiza o lucro?
B) Qual é o valor desse lucro máximo?
Perguntas:
A) Qual o número de bonés por pacote que maximiza o lucro?
B) Qual é o valor desse lucro máximo?
Passo 2
Entendendo o tipo de função e o que isso implica (aula rápida e calma).
Uma função quadrática tem a forma geral
Uma função quadrática tem a forma geral
onde
,
e
são constantes. Aqui
determina a concavidade da parábola:
- se
, a parábola abre para cima e a função tem um mínimo; - se
, a paráola abre para baixo e a função tem um máximo.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos
,
e
. Como
, a parábola abre para baixo e, portanto, existe um único valor de
que dá o lucro máximo: esse valor é o vértice da parábola.
Além disso, há duas maneiras simples de encontrar o vértice: (i) usar a fórmula do eixo de simetria
ou (ii) completar o quadrado para escrever
na forma vértice
, de onde o vértice é em
com valor
. Vou fazer as duas coisas para você aprender as duas técnicas.
Passo 3
Usando a fórmula do eixo de simetria (método rápido). A abscissa do vértice é
Aqui
e
, então
Portanto a quantidade de bonés por pacote que maximiza o lucro é
.
Passo 4
Agora completar o quadrado para mostrar de onde vem o lucro máximo (método que também dá o valor máximo direto). Partimos de
Fatoramos o coeficiente de
dos dois primeiros termos:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, lembramos que
. Substituindo:
Distribuindo o sinal negativo:
Somando os termos constantes:
Passo 5
Interpretação do resultado da forma completada. A expressão
mostra claramente que
é sempre menor ou igual a
, porque um quadrado é não negativo. O maior valor que
pode ter é
, que ocorre quando
, isto é, quando
. Nesse caso
Verificação por substituição direta (opcional, só pra garantir):
Passo 6
Conclusão e interpretação prática (sussa, você conseguiu!).
- A quantidade de bonés por pacote que dá o lucro máximo é
. - O lucro máximo obtido é
.
Resposta
A)
bonés por pacote
B)
B)