Questão 06: Verifique a estabilidade do sistema discreto no tempo a partir do Critério de Jury.
  • De

Passo 1

Beleza, o problema é: “Verificar a estabilidade do sistema discreto via Critério de Jury” para o polinômio
De
Isso faz parte de Análise de Sistemas Discretos e precisamos usar o Critério de Jury, que testa se todas as raízes de estão dentro do círculo unidade ( ). Para isso:
  1. Verificamos condições diretas ( , sinais de e ).
  2. Construímos sequências reduzidas de grau decrescente, checando as mesmas condições a cada etapa.

Passo 2

Primeira condição do Jury: comparar o coeficiente de menor grau com o de maior grau.
No nosso caso (coef. de ) e .
Temos .
Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora avaliamos o polinômio em De 0, e De 0 :
Condição do Jury: ambas devem ser positivas. Está OK.

Passo 4

Construímos o polinômio reduzido de grau 3. As fórmulas gerais para os novos coeficientes bk = a0,ak+1 ;-; an,an-ka0, são
b0 = 2,5296, b1 = 2,04104, b2 = 0,422208, b3 = -0,1039392
onde 0,1039392 < 2,5296 (ok) .
Calculando:
Checamos :

Passo 5

Escrevemos o novo polinômio
De
com
,
,
.
Aplicamos de novo Jury:
  1. ? Sim.
  2. .
  3. .

Passo 6

Reduzimos de grau 3 para 2 usando:
c0 = alpha - gamma approx 0,8480, c1 = beta - alpha,gamma approx 0,2002, c2 = gamma,(1-beta) approx -0,0342
Checamos 0,0342 < 0,8480 (ok) :
De
Nosso grau 2:
com , .
Jury de grau 2:
? Sim.
.
.

Passo 7

Restou um polinômio de grau 1, que sempre satisfaz Jury se chegamos até aqui sem violar nada.

Resposta

Como todas as condições do Critério de Jury foram satisfeitas em cada redução, concluímos que todas as raízes de estão dentro do círculo unitário.
Portanto, o sistema é estável.

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