Questão 06: (1,5) \checkmark
O trabalho de De Broglie veio responder a uma questão que nem o próprio Bohr conseguía explicar. Por que estaria a energia do elétron num átomo de hidrogênio quantizada? Em seguida, calcule comprimento de onda de de Broglie para um elétron com uma velocídade de 10 \% da velocídade da luz.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, explicar por que a energia do elétron no átomo de hidrogênio é quantizada segundo De Broglie; segundo, calcular o comprimento de onda de De Broglie de um elétron com velocidade igual a 0{,}1 vezes a velocidade da luz. Para isso vamos usar a noção de onda de matéria e a relação
\lambda = \frac{h}{p}.

Passo 2

Bohr introduziu a quantização do momento angular do elétron sem fundamentação física. De Broglie propôs que o elétron se comporta também como uma onda de comprimento \lambda. Num nível estável de energia a onda deve ser estacionária na órbita, ou seja, a circunferência da órbita deve conter um número inteiro de comprimentos de onda:
2\pi r = n\,\lambda.
Isso impõe que o momento p seja quantizado e, portanto, a energia também.

Passo 3

Para calcular numericamente o comprimento de onda usamos a relação de De Broglie
\lambda = \frac{h}{p},
e como a velocidade v=0{,}1\,c é não relativística, tomamos
p = m_e\,v.

Passo 4

Valores numéricos: \displaystyle m_e = 9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, \displaystyle v = 0{,}1\,c = 0{,}1\times3,00\times10^8\,\mathrm{m/s} = 3,00\times10^7\,\mathrm{m/s}.
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p = m_e\,v = 9,11\times10^{-31}\times3,00\times10^7 = 2,73\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Substituindo em \lambda = h/p com h = 6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, obtemos
\lambda = \frac{6,626\times10^{-34}}{2,73\times10^{-23}} \approx 2,43\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

Resposta

A energia do elétron é quantizada porque, ao associar-lhe natureza ondulatória, só são permitidas órbitas em que a onda de matéria “fecha” sobre si mesma (condição de onda estacionária), impondo valores inteiros de momento e, consequentemente, de energia.
O comprimento de onda de De Broglie para v=0{,}1\,c é
\lambda \approx 2,43\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

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