Questão 07 - Partindo da formulação original da segunda lei do movimento:
\frac{d \vec{p}}{d t}=\frac{d}{d t}(m \vec{v})=\vec{F}_{e x t}
Expanda/efetue a derivada do momento ( m \vec{v} ) e explique cada um dos termos. Lembrem de explicar porque no ensino médio o termo que contém a derivada d m / d t é comumente ignorada e como apenas com esse termo conseguimos explicar o movimento dos foguetes;

Passo 1

O enunciado dá a formulação original da segunda lei do movimento:
\frac{d\vec p}{dt}=\frac{d}{dt}(m\vec v)=\vec F_{\text{ext}}.
O que é pedido:
  • Expandir/efetuar a derivada do momento \,m\vec v.
  • Explicar o significado físico de cada termo que aparecer na expansão.
  • Explicar por que, no ensino médio, o termo com \dfrac{dm}{dt} é comumente ignorado.
  • Explicar como apenas esse termo permite entender o movimento dos foguetes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • \vec p é o momento linear (momentum) do corpo.
  • \vec v é a velocidade do corpo (vetor).
  • m é a massa, que aqui pode depender do tempo t (ou seja, m=m(t)).
  • \vec F_{\text{ext}} representa as forças externas atuando no sistema considerado.

Passo 2

Efetuando a derivada do produto m\vec v usamos a regra do produto para derivadas (válida componente a componente para vetores). A regra do produto diz que, para duas quantidades dependentes do tempo a(t) e b(t),
\frac{d}{dt}\big(a(t)\,b(t)\big)=\frac{da}{dt}\,b(t)+a(t)\,\frac{db}{dt}.
Aplicando isso a m(t) e \vec v(t) obtemos, em forma vetorial:
\frac{d}{dt}\big(m\vec v\big)=\frac{dm}{dt}\,\vec v + m\,\frac{d\vec v}{dt}.
Aqui eu defini:
  • \dfrac{dm}{dt} é a taxa de variação da massa (unidade: kg/s).
  • \dfrac{d\vec v}{dt} é a aceleração \vec a (unidade: m/s²), então m\,\dfrac{d\vec v}{dt}=m\vec a.

Passo 3

Interpretando fisicamente cada termo da expressão
\frac{d}{dt}\big(m\vec v\big)=\frac{dm}{dt}\,\vec v + m\,\frac{d\vec v}{dt},
vamos explicar termo a termo:
  1. Termo m\,\dfrac{d\vec v}{dt}:
  • É o familiar “massa vezes aceleração”.
  • Física: representa a variação do momento causada pela mudança da velocidade da massa que existe no sistema. Em sistemas de massa constante é o único termo que aparece e, por isso, a forma comum m\vec a=\vec F.
  • Notação alternativa: m\,\dfrac{d\vec v}{dt}=m\vec a.
  1. Termo \dfrac{dm}{dt}\,\vec v:
  • É a contribuição à variação do momento devido à mudança da própria massa que carrega aquela velocidade \vec v.
  • Física: se a massa do sistema está mudando (ex.: um caminhão que despeja areia, ou um foguete que perde massa ao expelir combustível), então parte do momento muda só porque mudou a quantidade de massa com aquela velocidade.
  • Sinal e interpretação: \dfrac{dm}{dt}>0 significa ganho de massa; \dfrac{dm}{dt}<0 significa perda de massa. O termo aponta na direção de \vec v e tem efeito direto sobre a variação do momento total do corpo considerado.

Passo 4

Por que no ensino médio normalmente ignoram o termo \dfrac{dm}{dt}\,\vec v?
  • Em muitos problemas práticos do ensino médio (blocos, carros, projéteis, etc.) a massa do corpo é considerada constante durante o intervalo de tempo de interesse. Nessas situações \dfrac{dm}{dt}=0 e o termo desaparece, reduzindo a lei à forma familiar:
m\frac{d\vec v}{dt}=\vec F_{\text{ext}}.
  • Além disso, quando há transferência de massa em sistemas cotidianos, muitas vezes a taxa de variação de massa é muito pequena comparada às outras grandezas, então o efeito é desprezível no cálculo aproximado da aceleração.
  • Por simplicidade pedagógica: a forma m\vec a=\vec F é mais simples, gera muitos problemas úteis e é suficiente para a maior parte do conteúdo introdutório.

Passo 5

Como esse termo ajuda a explicar o movimento dos foguetes? (Derivação passo a passo do efeito de empuxo)
Para entender foguetes precisamos tratar corretamente o fato de que o foguete perde massa ao expelir gases para trás. Vamos fazer uma análise simples unidimensional (mas válida vectorialmente com vetores):
Definições que vou usar:
  • m(t) = massa do foguete no tempo t (inclui apenas a parte sólida do veículo; combustível que sai não conta mais).
  • v(t) = velocidade do foguete no referencial inercial.
  • \dfrac{dm}{dt} = taxa de variação da massa do foguete (para foguete descarregando combustível \dfrac{dm}{dt}<0).
  • \vec u_{\text{rel}} = velocidade do gás expelido em relação ao foguete (ou seja, velocidade do exaustor medida no referencial do foguete). Por convenção, se o gás sai para trás e o foguete se move para frente, \vec u_{\text{rel}} aponta para trás.
  • \vec F_{\text{ext}} = forças externas (gravidade, resistência do ar, etc.).
Análise em um intervalo pequeno de tempo dt:
  • No instante t o momento total do foguete é m\,v.
  • Em t+dt o foguete tem massa m+dm (note que dm<0 quando perde massa) e velocidade v+dv. A massa expelida é -dm (positivo), e, no referencial inercial, a velocidade desse gás é aproximadamente v+u_{\text{rel}} (o gás sai com velocidade relativa \vec u_{\text{rel}} ao foguete).
  • Conservando o momento do conjunto (foguete + gás expelido) numa janela de tempo dt e incluindo forças externas, após expandir e cancelar termos de ordem dt^2 chegamos (passos técnicos omitidos por clareza, mas esta é a forma padrão da derivação) ao resultado diferencial:
m\frac{d\vec v}{dt}=\vec F_{\text{ext}}+\vec u_{\text{rel}}\,\frac{dm}{dt}.
Explicação dos termos nesta equação:
  • O lado esquerdo m\frac{d\vec v}{dt} é a mudança da velocidade do foguete por unidade de tempo multiplicada pela massa instantânea.
  • O termo \vec u_{\text{rel}}\,\dfrac{dm}{dt} é a força de reação (empuxo) causada pela massa que sai. Note que \dfrac{dm}{dt} é negativo (massa diminui), e \vec u_{\text{rel}} aponta para trás; o produto vetorial/escala resultará numa força para frente — ou seja, empuxo que acelera o foguete.
Observação de sinal: como \dfrac{dm}{dt}<0 e \vec u_{\text{rel}} aponta para trás (vetor com componente negativa na direção do movimento), o produto \vec u_{\text{rel}}\,\dfrac{dm}{dt} tende a apontar para frente. Alternativamente, escrevendo com magnitudes (1D) e tomando u_e>0 como velocidade do gás relativa ao foguete, e \dot m = \dfrac{dm}{dt}<0, o empuxo tem módulo
F_{\text{thrust}} = -\dot m \, u_e,
que é positivo (para frente).

Passo 6

Integração simples (equação de Tsiolkovsky) — como vemos na prática a importância do termo:
Considerando foguete no vácuo sem forças externas ( \vec F_{\text{ext}}=\vec 0) e com velocidade de exaustão relativa constante \vec u_{\text{rel}} (na direção oposta ao movimento), a equação
m\frac{d v}{dt} = u_{\text{rel}}\,\frac{dm}{dt}
pode ser rearranjada (escalar, 1D) como
\frac{dv}{dt} = u_{\text{rel}}\,\frac{1}{m}\frac{dm}{dt}.
Separando variáveis e integrando entre tempos iniciais e finais (massa inicial m_0 e massa final m_f; velocidade inicial v_0 e final v_f):
\int_{v_0}^{v_f} dv = u_{\text{rel}}\int_{m_0}^{m_f}\frac{1}{m}\,dm.
Isso dá a famosa equação:
\Delta v = v_f-v_0 = u_{\text{rel}}\ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right).
Interpretação:
  • Uma variação de velocidade \Delta v é produzida unicamente pelo fato de expulsar massa com velocidade relativa \,u_{\text{rel}}.
  • Sem o termo de variação de massa não haveria razão matemática nem física para o foguete ganhar velocidade quando perde massa: é justamente a combinação de perda de massa com velocidade relativa do gás que gera empuxo.

Passo 7

Resumo prático e pedagogicamente encorajador
  • A expansão correta é
\frac{d}{dt}(m\vec v)=\frac{dm}{dt}\,\vec v + m\,\frac{d\vec v}{dt}.
  • Em muitos exercícios do ensino médio \dfrac{dm}{dt}=0, por isso a forma reduzida m\vec a=\vec F é ensinada primeiro.
  • Para sistemas de massa variável (foguetes, caminhões que despejam carga, sistemas que ingerem massa), o termo \dfrac{dm}{dt}\,\vec v não pode ser ignorado; ao tratá-lo corretamente (levando em conta a velocidade relativa do fluido expelido) obtemos o empuxo e a equação do foguete que permite derivar a equação de Tsiolkovsky \Delta v = u_{\text{rel}}\ln(m_0/m_f).
  • Moral: o termo com \dfrac{dm}{dt} é pequeno ou zero para muitos problemas simples (por isso é omitido no ensino médio), mas é o coração da explicação de como foguetes se movimentam — portanto, quando a massa varia, a conta tem que levar esse termo em conta.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}(m\vec v)=\frac{dm}{dt}\,\vec v + m\,\frac{d\vec v}{dt}.
Termos: \dfrac{dm}{dt}\,\vec v é a variação do momento por mudança de massa; m\,\dfrac{d\vec v}{dt}=m\vec a é a variação por mudança de velocidade.
No ensino médio normalmente toma-se \dfrac{dm}{dt}=0 (massa constante), por isso o termo é ignorado.
Para foguetes, incluindo a velocidade relativa do exaustor \vec u_{\text{rel}} obtém-se a equação do movimento
\displaystyle m\frac{d\vec v}{dt}=\vec F_{\text{ext}}+\vec u_{\text{rel}}\,\frac{dm}{dt},
que para \vec F_{\text{ext}}=\vec 0 e \vec u_{\text{rel}} constante leva à equação de Tsiolkovsky
\displaystyle \Delta v = u_{\text{rel}}\ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right),
mostrando que a perda de massa com velocidade relativa gera o empuxo que acelera o foguete.

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