Questão 07 - Partindo da formulação original da segunda lei do movimento:
Expanda/efetue a derivada do momento (
) e explique cada um dos termos. Lembrem de explicar porque no ensino médio o termo que contém a derivada
é comumente ignorada e como apenas com esse termo conseguimos explicar o movimento dos foguetes;
Passo 1
O enunciado dá a formulação original da segunda lei do movimento:
O que é pedido:
- Expandir/efetuar a derivada do momento
. - Explicar o significado físico de cada termo que aparecer na expansão.
- Explicar por que, no ensino médio, o termo com
é comumente ignorado. - Explicar como apenas esse termo permite entender o movimento dos foguetes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é o momento linear (momentum) do corpo. -
é a velocidade do corpo (vetor). -
é a massa, que aqui pode depender do tempo (ou seja, ). -
representa as forças externas atuando no sistema considerado.
Passo 2
Efetuando a derivada do produto
usamos a regra do produto para derivadas (válida componente a componente para vetores). A regra do produto diz que, para duas quantidades dependentes do tempo
e
,
Aplicando isso a
e
obtemos, em forma vetorial:
Aqui eu defini:
-
é a taxa de variação da massa (unidade: kg/s). -
é a aceleração (unidade: m/s²), então .
Passo 3
Interpretando fisicamente cada termo da expressão
vamos explicar termo a termo:
- Termo
:
- É o familiar “massa vezes aceleração”.
- Física: representa a variação do momento causada pela mudança da velocidade da massa que existe no sistema. Em sistemas de massa constante é o único termo que aparece e, por isso, a forma comum
. - Notação alternativa:
.
- Termo
:
- É a contribuição à variação do momento devido à mudança da própria massa que carrega aquela velocidade
. - Física: se a massa do sistema está mudando (ex.: um caminhão que despeja areia, ou um foguete que perde massa ao expelir combustível), então parte do momento muda só porque mudou a quantidade de massa com aquela velocidade.
- Sinal e interpretação:
significa ganho de massa; significa perda de massa. O termo aponta na direção de e tem efeito direto sobre a variação do momento total do corpo considerado.
Passo 4
Por que no ensino médio normalmente ignoram o termo
?
- Em muitos problemas práticos do ensino médio (blocos, carros, projéteis, etc.) a massa do corpo é considerada constante durante o intervalo de tempo de interesse. Nessas situações
e o termo desaparece, reduzindo a lei à forma familiar:
- Além disso, quando há transferência de massa em sistemas cotidianos, muitas vezes a taxa de variação de massa é muito pequena comparada às outras grandezas, então o efeito é desprezível no cálculo aproximado da aceleração.
- Por simplicidade pedagógica: a forma
é mais simples, gera muitos problemas úteis e é suficiente para a maior parte do conteúdo introdutório.
Passo 5
Como esse termo ajuda a explicar o movimento dos foguetes? (Derivação passo a passo do efeito de empuxo)
Para entender foguetes precisamos tratar corretamente o fato de que o foguete perde massa ao expelir gases para trás. Vamos fazer uma análise simples unidimensional (mas válida vectorialmente com vetores):
Definições que vou usar:
-
= massa do foguete no tempo (inclui apenas a parte sólida do veículo; combustível que sai não conta mais). -
= velocidade do foguete no referencial inercial. -
= taxa de variação da massa do foguete (para foguete descarregando combustível ). -
= velocidade do gás expelido em relação ao foguete (ou seja, velocidade do exaustor medida no referencial do foguete). Por convenção, se o gás sai para trás e o foguete se move para frente, aponta para trás. -
= forças externas (gravidade, resistência do ar, etc.).
Análise em um intervalo pequeno de tempo
:
- No instante
o momento total do foguete é . - Em
o foguete tem massa (note que quando perde massa) e velocidade . A massa expelida é (positivo), e, no referencial inercial, a velocidade desse gás é aproximadamente (o gás sai com velocidade relativa ao foguete). - Conservando o momento do conjunto (foguete + gás expelido) numa janela de tempo
e incluindo forças externas, após expandir e cancelar termos de ordem chegamos (passos técnicos omitidos por clareza, mas esta é a forma padrão da derivação) ao resultado diferencial:
Explicação dos termos nesta equação:
- O lado esquerdo
é a mudança da velocidade do foguete por unidade de tempo multiplicada pela massa instantânea. - O termo
é a força de reação (empuxo) causada pela massa que sai. Note que é negativo (massa diminui), e aponta para trás; o produto vetorial/escala resultará numa força para frente — ou seja, empuxo que acelera o foguete.
Observação de sinal: como
e
aponta para trás (vetor com componente negativa na direção do movimento), o produto
tende a apontar para frente. Alternativamente, escrevendo com magnitudes (1D) e tomando
como velocidade do gás relativa ao foguete, e
, o empuxo tem módulo
que é positivo (para frente).
Passo 6
Integração simples (equação de Tsiolkovsky) — como vemos na prática a importância do termo:
Considerando foguete no vácuo sem forças externas (
) e com velocidade de exaustão relativa constante
(na direção oposta ao movimento), a equação
pode ser rearranjada (escalar, 1D) como
Separando variáveis e integrando entre tempos iniciais e finais (massa inicial
e massa final
; velocidade inicial
e final
):
Isso dá a famosa equação:
Interpretação:
- Uma variação de velocidade
é produzida unicamente pelo fato de expulsar massa com velocidade relativa . - Sem o termo de variação de massa não haveria razão matemática nem física para o foguete ganhar velocidade quando perde massa: é justamente a combinação de perda de massa com velocidade relativa do gás que gera empuxo.
Passo 7
Resumo prático e pedagogicamente encorajador
- A expansão correta é
- Em muitos exercícios do ensino médio
, por isso a forma reduzida é ensinada primeiro. - Para sistemas de massa variável (foguetes, caminhões que despejam carga, sistemas que ingerem massa), o termo
não pode ser ignorado; ao tratá-lo corretamente (levando em conta a velocidade relativa do fluido expelido) obtemos o empuxo e a equação do foguete que permite derivar a equação de Tsiolkovsky . - Moral: o termo com
é pequeno ou zero para muitos problemas simples (por isso é omitido no ensino médio), mas é o coração da explicação de como foguetes se movimentam — portanto, quando a massa varia, a conta tem que levar esse termo em conta.
Resposta
Termos:
No ensino médio normalmente toma-se
Para foguetes, incluindo a velocidade relativa do exaustor
que para
mostrando que a perda de massa com velocidade relativa gera o empuxo que acelera o foguete.