Questão 06.
Usando as somas das séries obtidas no exercício anterior, calcule:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule três somas infinitas, usando resultados de séries já conhecidos. As perguntas são:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Posso usar somas de séries padrão (como a série geométrica e séries obtidas por diferenciação/integração dela).
- Todas as séries têm denominadores exponenciais com base maior que 1, então devem convergir e eu posso avaliar usando séries de potências dentro do raio de convergência.
Passo 2
Ferramenta básica que vamos usar (a mais útil aqui): a série geométrica e integrações/diferenciações dela.
A série geométrica (para
) é
Integrando termo a termo de
a
(válido para
) obtemos a série para o logaritmo:
Explicação curta e didática: a soma
tem cada termo
. Integrando
. Somando isso para todos
e ajustando o índice dá exatamente a série acima, e o lado direito resulta da integral de
que é
. Essa identidade é muito útil para séries do tipo
.
Também usaremos diferenciação termo a termo da série geométrica para obter fórmulas para
,
,
. Diferenciar é permitido dentro do raio de convergência e é um jeito padrão de gerar somas com potências de
.
Passo 3
Aplicando a série do logaritmo para resolver (a).
A fórmula é
Escolho
(que satisfaz
). Então
Como
, concluímos
Passo 4
Agora vamos construir as fórmulas para somas com
,
e
. Começo com
Diferencio ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Diferencio novamente para obter
. A partir de
:
Multiplicando por
,
Passo 6
Diferencio mais uma vez para obter
. A partir de
:
Multiplicando por
,
Comentário didático: cada diferenciação “puxa” para fora um fator
(porque derivando
dá
), por isso ao differentiarmos repetidas vezes obtemos potências maiores de
nas somas.
Passo 7
Agora aplico a fórmula obtida para (b) escolhendo
. Usando
coloco
. Calculo passo a passo:
Também
Multiplicando por
:
Agora a razão:
Passo 8
Por fim, resolvo (c). Faço uma mudança de índice para simplificar a dependência em
.
Defino
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
. Substituindo:
Fatorizo
:
Reescrevo
e então
onde
. Usando a fórmula do logaritmo
com
temos
Portanto a soma original vale
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)