Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: (a) escrever essa sequência como uma expansão em série de potências centrada em
(ou seja, identificar a forma
e uma expressão fechada equivalente) e (b) determinar para quais valores de
essa expansão é válida (intervalo/radio de convergência).
Informações úteis fornecidas diretamente pela série: os coeficientes são , ou seja,
para
. Vou usar essa observação para escrever a série com índice começando em
.
Informações úteis fornecidas diretamente pela série: os coeficientes são
Passo 2
Escrevemos a série com índice
começando em
. Note que o termo geral pode ser escrito como
porque:
gera
. Portanto a série é
Passo 3
Estratégia básica (explicando o instrumento que vamos usar): a série geométrica básica
é válida para
. Dentro desse intervalo de convergência podemos derivar termo a termo e obter somas envolvendo
,
etc. Vou mostrar isso passo a passo — isso é permitido porque uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência, e o raio não muda ao derivar.
Passo 4
Começamos pela série geométrica e derivamos uma vez. A série geométrica é
Derivando ambos os lados em relação a
(derivação termo a termo) obtemos
Multiplicando por
para ter potências
vemos
Como o termo
é zero, podemos escrever mais compactamente
Passo 5
Agora derivamos novamente para obter somas com
. A partir de
derivamos em
e obtemos
Multiplicando por
para recobrir termos
,
Passo 6
Usamos a identidade
para obter
. Assim
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
e
Portanto
Passo 7
Agora simplificamos a expressão de
colocando em denominador comum
:
Logo
Passo 8
Voltamos para a série original
. Expandindo o quadrado:
portanto
Substituímos as somas já obtidas:
Passo 9
Agora fazemos a soma algébrica e simplificamos. Colocando tudo sobre o denominador
:
Escrevendo os dois últimos termos com denominador
:
Somando os numeradores:
Calculando termo a termo:
Somando:
. Assim
Passo 10
Determinação do intervalo de validade: todas as manipulações (derivação termo a termo) foram feitas dentro do raio de convergência da série geométrica inicial, que é
. A diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência, então a expressão fechada obtida é válida para
. Nos extremos
ou
a série original diverge (os termos não vão a zero), portanto não incluímos esses pontos.