Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
1+4 x+9 x^{2}+16 x^{3}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série
1+4x+9x^{2}+16x^{3}+\cdots
e pede: (a) escrever essa sequência como uma expansão em série de potências centrada em x_{0}=0 (ou seja, identificar a forma \sum a_{n}x^{n} e uma expressão fechada equivalente) e (b) determinar para quais valores de x essa expansão é válida (intervalo/radio de convergência).
Informações úteis fornecidas diretamente pela série: os coeficientes são 1,4,9,16,\dots, ou seja, k^{2} para k=1,2,3,\dots. Vou usar essa observação para escrever a série com índice começando em n=0.

Passo 2

Escrevemos a série com índice n começando em 0. Note que o termo geral pode ser escrito como (n+1)^{2}x^{n} porque:
(n+1)^{2}x^{n}\quad\text{para }n=0,1,2,\dots
gera 1\cdot x^{0},\;4\cdot x^{1},\;9\cdot x^{2},\dots. Portanto a série é
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2}x^{n}.

Passo 3

Estratégia básica (explicando o instrumento que vamos usar): a série geométrica básica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}
é válida para |x|<1. Dentro desse intervalo de convergência podemos derivar termo a termo e obter somas envolvendo n, n^{2} etc. Vou mostrar isso passo a passo — isso é permitido porque uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência, e o raio não muda ao derivar.

Passo 4

Começamos pela série geométrica e derivamos uma vez. A série geométrica é
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1.
Derivando ambos os lados em relação a x (derivação termo a termo) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x para ter potências x^{n} vemos
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Como o termo n=0 é zero, podemos escrever mais compactamente
\sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1.

Passo 5

Agora derivamos novamente para obter somas com n(n-1). A partir de
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}
derivamos em x e obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^{3}}.
Multiplicando por x^{2} para recobrir termos x^{n},
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n}=\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}.

Passo 6

Usamos a identidade n^{2}=n(n-1)+n para obter \sum n^{2}x^{n}. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}.
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n}=\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}
e
\sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 7

Agora simplificamos a expressão de \sum n^{2}x^{n} colocando em denominador comum (1-x)^{3}:
\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}=\frac{2x^{2}+x(1-x)}{(1-x)^{3}}=\frac{2x^{2}+x-x^{2}}{(1-x)^{3}}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}},\qquad |x|<1.

Passo 8

Voltamos para a série original S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2}x^{n}. Expandindo o quadrado:
(n+1)^{2}=n^{2}+2n+1,
portanto
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Substituímos as somas já obtidas:
\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}},\qquad \sum_{n=0}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.

Passo 9

Agora fazemos a soma algébrica e simplificamos. Colocando tudo sobre o denominador (1-x)^{3}:
S(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}+2\cdot\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1-x}.
Escrevendo os dois últimos termos com denominador (1-x)^{3}:
2\cdot\frac{x}{(1-x)^{2}}=\frac{2x(1-x)}{(1-x)^{3}},\qquad \frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)^{2}}{(1-x)^{3}}.
Somando os numeradores:
x(1+x)+2x(1-x)+(1-x)^{2}.
Calculando termo a termo:
x(1+x)=x+x^{2},
2x(1-x)=2x-2x^{2},
(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}.
Somando: (x+x^{2})+(2x-2x^{2})+(1-2x+x^{2})=1+x. Assim
S(x)=\frac{1+x}{(1-x)^{3}}.

Passo 10

Determinação do intervalo de validade: todas as manipulações (derivação termo a termo) foram feitas dentro do raio de convergência da série geométrica inicial, que é |x|<1. A diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência, então a expressão fechada obtida é válida para |x|<1. Nos extremos x=1 ou x=-1 a série original diverge (os termos não vão a zero), portanto não incluímos esses pontos.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2}x^{n}=\frac{1+x}{(1-x)^{3}},\qquad |x|<1

Exercícios relacionados