Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
x+2^{3} x^{2}+3^{3} x^{3}+4^{3} x^{4}+\cdots

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da expressão
x+2^{3}x^{2}+3^{3}x^{3}+4^{3}x^{4}+\cdots
e determinar para quais valores de x essa expansão é válida. Informações dadas: a série apresentada tem termo geral n^{3}x^{n} com n começando em 1. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Reescrever a série usando notação de soma para trabalhar com ela:
\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n}.
Aqui, n é o índice da soma (número natural) e x é a variável da série de potências. Nosso objetivo é somar esta série em forma fechada (uma função racional de x) válida num intervalo ao redor de 0.

Passo 3

Lembrar da série geométrica básica (válida para |x|<1):
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Esta fórmula é a pedra fundamental: vamos diferenciá-la termo a termo para obter séries com fatores n, n(n-1), etc. Obs.: diferenciar termo a termo é permitido dentro do raio de convergência (a série resultante tem o mesmo raio), por isso trabalhamos para |x|<1.

Passo 4

Diferenciando uma vez (derivada de ambos os lados) e reescrevendo a soma para ter potências x^{n}:
a) Diferenciação:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
b) Multiplicando por x para obter potências x^{n}:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}.
Explicação didática: ao derivar \,x^{n}\, obtemos n x^{n-1}. Somando sobre n dá a série com coeficientes n. Multiplicar por x apenas ajusta a potência para x^{n}.

Passo 5

Diferenciar mais uma vez para obter termos com n(n-1):
a) Segunda derivada da série original:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^{3}}.
b) Multiplicando por x^{2} para potências x^{n}:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n} = \frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}.
Observação: os termos com n=0 ou n=1 aparecem como zero na soma de n(n-1), então podemos estender o índice para n=1 sem problema (os primeiros termos serão zero).

Passo 6

Terceira derivada para obter n(n-1)(n-2):
a) Terceira derivada da série geométrica:
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=3}^{\infty} n(n-1)(n-2) x^{n-3}=\frac{6}{(1-x)^{4}}.
b) Multiplicando por x^{3} para potências x^{n}:
\sum_{n=3}^{\infty} n(n-1)(n-2) x^{n} = \frac{6x^{3}}{(1-x)^{4}}.

Passo 7

Expressar n^{3} em termos das quantidades já obtidas (uma técnica padrão): usar a identidade
n^{3} = n(n-1)(n-2) + 3\,n(n-1) + n.
Verificação rápida (expansão): n(n-1)(n-2)=n^{3}-3n^{2}+2n, 3n(n-1)=3n^{2}-3n. Somando tudo dá n^{3}. Essa decomposição é útil porque já temos séries para cada tipo de termo à direita.

Passo 8

Somar termo a termo usando a identidade e as séries encontradas:
\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1)(n-2) x^{n} +3\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n} +\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}.
Substituindo as expressões das etapas anteriores (note que as somas podem começar em 1 porque os termos nulos para pequenos n não afetam o valor):
\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n} = \frac{6x^{3}}{(1-x)^{4}} +3\cdot\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}} +\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 9

Fazer a simplificação algébrica para obter uma forma única racional. Colocando tudo sobre o denominador (1-x)^{4}:
\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n} = \frac{6x^{3}}{(1-x)^{4}} +\frac{6x^{2}(1-x)}{(1-x)^{4}} +\frac{x(1-x)^{2}}{(1-x)^{4}}.
Somando numeradores:
6x^{3} + 6x^{2}(1-x) + x(1-2x+x^{2}) = x + 4x^{2} + x^{3}.
Logo
\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n} = \frac{x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}.

Passo 10

Determinar o intervalo (ou raio) de validade: todas as manipulações (diferenciação termo a termo e soma) são válidas dentro do raio de convergência da série geométrica original, isto é para |x|<1. Portanto a expansão em série e a fórmula fechada valem para |x|<1. (Ponto extra: no limite x\to 1^{-} a série diverge e a função tem pólo de ordem 4 em x=1.)

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n}=\frac{x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}\n
válido para |x|<1

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