Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de
da expressão
e determinar para quais valores de
essa expansão é válida. Informações dadas: a série apresentada tem termo geral
com
começando em
. Não há outras condições no enunciado.
Passo 2
Reescrever a série usando notação de soma para trabalhar com ela:
Aqui,
é o índice da soma (número natural) e
é a variável da série de potências. Nosso objetivo é somar esta série em forma fechada (uma função racional de
) válida num intervalo ao redor de
.
Passo 3
Lembrar da série geométrica básica (válida para
):
Esta fórmula é a pedra fundamental: vamos diferenciá-la termo a termo para obter séries com fatores
,
, etc. Obs.: diferenciar termo a termo é permitido dentro do raio de convergência (a série resultante tem o mesmo raio), por isso trabalhamos para
.
Passo 4
Diferenciando uma vez (derivada de ambos os lados) e reescrevendo a soma para ter potências
:
a) Diferenciação:
a) Diferenciação:
b) Multiplicando por
para obter potências
:
Explicação didática: ao derivar
obtemos
. Somando sobre
dá a série com coeficientes
. Multiplicar por
apenas ajusta a potência para
.
Passo 5
Diferenciar mais uma vez para obter termos com
:
a) Segunda derivada da série original:
a) Segunda derivada da série original:
b) Multiplicando por
para potências
:
Observação: os termos com
ou
aparecem como zero na soma de
, então podemos estender o índice para
sem problema (os primeiros termos serão zero).
Passo 6
Terceira derivada para obter
:
a) Terceira derivada da série geométrica:
a) Terceira derivada da série geométrica:
b) Multiplicando por
para potências
:
Passo 7
Expressar
em termos das quantidades já obtidas (uma técnica padrão): usar a identidade
Verificação rápida (expansão):
,
. Somando tudo dá
. Essa decomposição é útil porque já temos séries para cada tipo de termo à direita.
Passo 8
Somar termo a termo usando a identidade e as séries encontradas:
Substituindo as expressões das etapas anteriores (note que as somas podem começar em 1 porque os termos nulos para pequenos
não afetam o valor):
Passo 9
Fazer a simplificação algébrica para obter uma forma única racional. Colocando tudo sobre o denominador
:
Somando numeradores:
Logo
Passo 10
Determinar o intervalo (ou raio) de validade: todas as manipulações (diferenciação termo a termo e soma) são válidas dentro do raio de convergência da série geométrica original, isto é para
. Portanto a expansão em série e a fórmula fechada valem para
. (Ponto extra: no limite
a série diverge e a função tem pólo de ordem 4 em
.)
Resposta
válido para