Questão-06 Use a regra de L’Hopital para calcular cada limite, se existir
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- Temos
, então a expressão pode ser escrita como . - Ao nos aproximarmos de
temos e . Logo tanto o numerador quanto o denominador tendem a quando escrito em termos de , isto é, a forma é do tipo . - A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite (se existir)?
Passo 2
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (essa é a ferramenta que o enunciado pede):
- Regra de L’Hôpital: se
e (ou ambos ), e se e são diferenciáveis num vizinho de (exceto talvez em ), e perto de , então
quando o limite à direita existir (ou for
).
- Vou aplicar essa regra passo a passo. Vou também explicar cuidadosamente as derivadas que aparecem (regra da cadeia, produto, etc.), para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Reescrevo a expressão numa forma mais direta para aplicar L’Hôpital:
Ao tomar
temos
e
, então a forma agora é
. Portanto a hipótese da Regra de L’Hôpital (caso
) está satisfeita e podemos diferenciá-las.
Passo 4
Calculo as derivadas do numerador e do denominador usando a regra da cadeia:
- Para a função
a derivada é , porque . - Aplicando com
(numerador):
- Aplicando com
(denominador):
Assim, pela Regra de L’Hôpital,
Simplificando os sinais e o fator numérico:
Passo 5
Analiso o limite obtido:
Agora avalio a parte
em
:
portanto
Logo o limite original fica
Resta então calcular
. Note que esta razão é novamente do tipo
, então aplico L’Hôpital outra vez.
Passo 6
Aplico L’Hôpital à razão
:
- Derivada do numerador:
(regra da cadeia). - Derivada do denominador:
.
Pela Regra de L’Hôpital,
Já calculamos antes que
. Portanto
Passo 7
Combino o resultado do Passo 6 com a expressão do Passo 5:
Então o limite existe e vale
. (Se quiser, dá para checar rapidamente usando a identidade de ângulo triplo
, que leva diretamente ao mesmo resultado
.)