Questão-06 Use a regra de L’Hopital para calcular cada limite, se existir
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{\operatorname{sec} ^{2}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\operatorname{sec}^{2}(3x)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Temos \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, então a expressão pode ser escrita como \dfrac{1/\cos^{2}(x)}{1/\cos^{2}(3x)}.
  • Ao nos aproximarmos de x=\dfrac{\pi}{2} temos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 e \cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0. Logo tanto o numerador quanto o denominador tendem a +\infty quando escrito em termos de \operatorname{sec}^{2}, isto é, a forma é do tipo \infty/\infty.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite (se existir)?

Passo 2

Breve explicação da Regra de L’Hôpital (essa é a ferramenta que o enunciado pede):
  • Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e se f e g são diferenciáveis num vizinho de a (exceto talvez em a), e g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty).
  • Vou aplicar essa regra passo a passo. Vou também explicar cuidadosamente as derivadas que aparecem (regra da cadeia, produto, etc.), para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Reescrevo a expressão numa forma mais direta para aplicar L’Hôpital:
\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\operatorname{sec}^{2}(3x)}=\frac{1/\cos^{2}(x)}{1/\cos^{2}(3x)}=\frac{\cos^{2}(3x)}{\cos^{2}(x)}.
Ao tomar x\to\dfrac{\pi}{2} temos \cos(3x)\to0 e \cos x\to0, então a forma agora é 0/0. Portanto a hipótese da Regra de L’Hôpital (caso 0/0) está satisfeita e podemos diferenciá-las.

Passo 4

Calculo as derivadas do numerador e do denominador usando a regra da cadeia:
  • Para a função h(x)=\cos^{2}(u(x)) a derivada é h'(x)=2\cos(u(x))\cdot(-\sin(u(x)))\cdot u'(x), porque \dfrac{d}{du}\cos^{2}u=2\cos u\cdot(-\sin u).
  • Aplicando com u(x)=3x (numerador):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{2}(3x)\bigr)=2\cos(3x)\cdot(-\sin(3x))\cdot 3 = -6\cos(3x)\sin(3x).
  • Aplicando com u(x)=x (denominador):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{2}(x)\bigr)=2\cos(x)\cdot(-\sin(x)) = -2\cos(x)\sin(x).
Assim, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2}(3x)}{\cos^{2}(x)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-6\cos(3x)\sin(3x)}{-2\cos(x)\sin(x)}.
Simplificando os sinais e o fator numérico:
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2}(3x)}{\cos^{2}(x)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} 3\cdot\frac{\cos(3x)\sin(3x)}{\cos(x)\sin(x)}.

Passo 5

Analiso o limite obtido:
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} 3\cdot\frac{\cos(3x)\sin(3x)}{\cos(x)\sin(x)} = 3\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}.
Agora avalio a parte \dfrac{\sin(3x)}{\sin(x)} em x=\dfrac{\pi}{2}:
\sin\!\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1,\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
portanto
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}=-1.
Logo o limite original fica
3\cdot(-1)\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = -3\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)}.
Resta então calcular \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos(3x)}{\cos(x)}. Note que esta razão é novamente do tipo 0/0, então aplico L’Hôpital outra vez.

Passo 6

Aplico L’Hôpital à razão \dfrac{\cos(3x)}{\cos(x)}:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\cos(3x) = -3\sin(3x) (regra da cadeia).
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).
    Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-3\sin(3x)}{-\sin(x)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} 3\cdot\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}.
Já calculamos antes que \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(3x)}{\sin(x)}=-1. Portanto
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 3\cdot(-1) = -3.

Passo 7

Combino o resultado do Passo 6 com a expressão do Passo 5:
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\operatorname{sec}^{2}(3x)} = -3 \cdot \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = -3 \cdot (-3) = 9.
Então o limite existe e vale 9. (Se quiser, dá para checar rapidamente usando a identidade de ângulo triplo \cos(3x)=4\cos^{3}x-3\cos x, que leva diretamente ao mesmo resultado 9.)

Resposta

9

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