Questão-06 Use a regra de L’Hopital para calcular cada limite, se existir
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A base é
, que tende a quando . - O expoente é
. Vou usar a notação em TeX ; quando , tende a . - Portanto a forma é do tipo indeterminado
.
A tarefa é usar a regra de L’Hôpital para calcular esse limite, se ele existir.
Passo 2
Estratégia padrão para formas
: tomar logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar exponenciação. Defino
Se o limite
existir e for finito, então
e então
. Tomar o ln é legítimo porque a função
é contínua e estritamente crescente.
Passo 3
Manipulo a expressão do logaritmo para ficar numa forma adequada para L’Hôpital:
pois
.
Ao verificar o tipo de indeterminação: e
quando
. Logo temos uma forma
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Ao verificar o tipo de indeterminação:
Passo 4
Aplico a regra de L’Hôpital (condições: numerador e denominador tendem a
e ambos são diferenciáveis perto de
, o que aqui ocorre). Derivo numerador e denominador:
-
-
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Simplifico a fração obtida:
Agora avalio o limite quando
:
Portanto
.
Passo 6
Voltando à função original, exponencio para obter
: