Questão-06 Use a regra de L’Hopital para calcular cada limite, se existir
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x+1)^{\operatorname{cotg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x+1)^{\operatorname{cotg}(x)}.
Informações relevantes dadas:
  • A base é (x+1), que tende a (1) quando x\to0^{+}.
  • O expoente é \operatorname{cotg}(x). Vou usar a notação em TeX \cot(x); quando x\to0^{+}, \cot(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} tende a +\infty.
  • Portanto a forma é do tipo indeterminado 1^{\infty}.
    A tarefa é usar a regra de L’Hôpital para calcular esse limite, se ele existir.

Passo 2

Estratégia padrão para formas 1^{\infty}: tomar logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar exponenciação. Defino
L=\lim_{x\to0^{+}}(x+1)^{\cot(x)}.
Se o limite \lim_{x\to0^{+}}\ln\big((x+1)^{\cot(x)}\big) existir e for finito, então
\ln L=\lim_{x\to0^{+}}\cot(x)\,\ln(1+x),
e então L=\mathrm{e}^{\ln L}. Tomar o ln é legítimo porque a função \ln é contínua e estritamente crescente.

Passo 3

Manipulo a expressão do logaritmo para ficar numa forma adequada para L’Hôpital:
\ln L=\lim_{x\to0^{+}}\cot(x)\,\ln(1+x)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{\tan(x)},
pois \cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}.
Ao verificar o tipo de indeterminação: \ln(1+x)\to0 e \tan(x)\to0 quando x\to0^{+}. Logo temos uma forma 0/0, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplico a regra de L’Hôpital (condições: numerador e denominador tendem a 0 e ambos são diferenciáveis perto de 0, o que aqui ocorre). Derivo numerador e denominador:
  • \dfrac{d}{dx}\ln(1+x)=\dfrac{1}{1+x}.
  • \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
    Pela regra de L’Hôpital,
\ln L=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{\tan(x)}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{\operatorname{sec}^{2}x}.

Passo 5

Simplifico a fração obtida:
\frac{\dfrac{1}{1+x}}{\operatorname{sec}^{2}x}=\frac{1}{(1+x)\operatorname{sec}^{2}x}=\frac{\cos^{2}x}{1+x}.
Agora avalio o limite quando x\to0^{+}:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos^{2}x}{1+x}=\frac{\cos^{2}0}{1+0}=\frac{1}{1}=1.
Portanto \ln L=1.

Passo 6

Voltando à função original, exponencio para obter L:
L=\mathrm{e}^{\ln L}=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}.

Resposta

\mathrm{e}

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