Questão-05. Esboce a região
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0<x y<2, x^{2}+y^{2} \leq 5\right. e \left.x>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0<xy<2,\; x^{2}+y^{2}\le 5,\; x>0\}.
As perguntas implícitas são: quais pontos do plano satisfazem simultaneamente as três condições e como essa região fica no plano (forma, limites, que partes das fronteiras são incluídas/excluídas). Informações relevantes fornecidas:
  • A condição 0<xy<2 impõe que o produto xy é positivo e menor que 2.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 5 é um disco fechado de raio \sqrt{5} centrado na origem.
  • A condição x>0 restringe tudo ao semiplano à direita do eixo y.
    Não resolvo nada aqui, só organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Interpretação geométrica da condição 0<xy<2.
  • A equação xy=c com c>0 é uma hipérbole equilátera que tem ramos nos quadrantes I e III; escrevendo y=\dfrac{c}{x} vemos que, para x>0, a hipérbole corresponde ao ramo no primeiro quadrante dado por y=\dfrac{c}{x}.
  • A desigualdade xy>0 diz que x e y têm o mesmo sinal. Como há também x>0, essa condição força y>0. Portanto toda a região fica no primeiro quadrante \{x>0,y>0\}.
  • A desigualdade xy<2 significa que, para cada x>0, o valor de y deve ser menor que \dfrac{2}{x}. Ou seja, em primeiro quadrante estamos “abaixo” da curva y=\dfrac{2}{x} (sem incluir pontos sobre essa curva, já que é desigualdade estrita).

Passo 3

Interpretação geométrica da condição x^{2}+y^{2}\le 5 e relação com y=\dfrac{2}{x}.
  • A curva x^{2}+y^{2}=5 é o círculo centrado na origem com raio \sqrt{5} (aprox. 2,236). A região x^{2}+y^{2}\le 5 é o disco fechado (inclui a borda).
  • Portanto a região solicitada está no primeiro quadrante, limitada por cima por \min\!\big(\dfrac{2}{x},\sqrt{5-x^{2}}\big) e por baixo pelo eixo x (mas o eixo x não está incluído porque requer y>0).
  • É útil encontrar os pontos de interseção entre a hipérbole xy=2 (ou y=2/x) e o círculo x^{2}+y^{2}=5. Substituímos y=\dfrac{2}{x} no círculo e resolvemos:
x^{2}+\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}=5.
Multiplicando por x^{2} obtemos
x^{4}+4=5x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{4}-5x^{2}+4=0.
Fazendo t=x^{2} temos t^{2}-5t+4=0, cujas raízes são
t=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}\in\{1,4\}.
Logo x^{2}=1 ou x^{2}=4. Como x>0 obtemos x=1 e x=2. Os correspondentes y são y=\dfrac{2}{1}=2 e y=\dfrac{2}{2}=1. Assim as interseções são os pontos (1,2) e (2,1).

Passo 4

Comportamento das curvas e quais peças da fronteira são incluídas/excluídas.
  • Eixo x e eixo y: o produto xy>0 exclui as bordas onde x=0 ou y=0. Além disso temos x>0 então o eixo y também é excluído; portanto nenhum ponto sobre os eixos faz parte de A.
  • A hipérbole xy=2 é a fronteira superior onde o produto atinge 2; porém a desigualdade é estrita xy<2, então pontos sobre xy=2 não pertencem a A. Em particular (1,2) e (2,1) estão na interseção hipérbole–círculo, mas ficam fora de A.
  • O círculo x^{2}+y^{2}=5 tem desigualdade não estrita \le, então pontos do disco na parte permitida pelo xy são incluídos (exceto os que violam xy<2). Ou seja, partes do arco do círculo no primeiro quadrante podem entrar em A se satisfizerem 0<xy<2.

Passo 5

Descrição explícita da região em termos de x.
Para um dado x com 0<x<\sqrt{5} (porque fora disso x^{2}+y^{2}\le5 é impossível), os valores admissíveis de y são
0<y<\min\!\left(\frac{2}{x},\sqrt{5-x^{2}}\right).
Vamos entender como a função \min se comporta:
  • Para 0<x<1: temos \dfrac{2}{x}>2 e \sqrt{5-x^{2}}>\sqrt{4}=2, mas como o círculo e hipérbole se cruzam em x=1 e x=2, verificamos que para 0<x<1 a restrição dominante é o círculo. Assim para 0<x<1 vale
0<y\le\sqrt{5-x^{2}}.
(Aqui o \le vem do fato do círculo ser incluído; o produto xy em pontos do círculo para x<1 é menor que 2, então esses pontos do círculo pertencem a A.)
  • Para 1<x<2: a hipérbole dá o teto menor, ou seja
0<y<\frac{2}{x}.
(Nesse intervalo a curva y=2/x está abaixo do círculo; como xy<2 é estrito, a igualdade y=2/x não está incluída.)
  • Para 2<x<\sqrt{5}: novamente a restrição dominante é o círculo (agora por cima a hipérbole está acima do círculo), então
0<y\le\sqrt{5-x^{2}}.
  • Nos pontos x=1 e x=2 a hipérbole e o círculo se tocam; porém os pontos (1,2) e (2,1) satisfazem xy=2 então são excluídos.

Passo 6

Resumo geométrico final e instruções para o esboço (como desenhar na prova).
  • A região A está inteiramente no primeiro quadrante ( x>0,\;y>0).
  • Limites horizontais: x vai de 0 até \sqrt{5} (não inclui x=0 porque xy>0, e x=\sqrt{5} não dá y>0 dentro do disco).
  • O teto da região é composto por três trechos (uma curva composta):
    1. Para 0<x<1: teto é o arco do círculo x^{2}+y^{2}=\!5 (incluído).
    2. Para 1<x<2: teto é a hipérbole y=\dfrac{2}{x} (não incluída).
    3. Para 2<x<\sqrt{5}: teto volta a ser o arco do círculo x^{2}+y^{2}=5 (incluído).
  • As bordas no eixo x e na hipérbole xy=2 não pertencem a A (porque y=0 e xy=2 são excluídos), mas o arco do círculo que estiver em regiões com xy<2 pertence a A.
  • Visualmente: desenhe o primeiro quadrante; desenhe o círculo de raio \sqrt{5}; desenhe a hipérbole y=2/x. Marque os pontos de interseção (1,2) e (2,1) (esses pontos ficam sobre o círculo e a hipérbole, mas não pertencem à região). A região é a parte interna (com y>0) que fica abaixo da hipérbole quando ela está por baixo, ou abaixo do círculo quando o círculo está por baixo, tudo dentro do disco. É uma região connexa em forma de “cap” no primeiro quadrante, com o teto mudando de arco-círculo para hipérbole e de volta para arco-círculo nos pontos (1,2) e (2,1).
  • Dica prática para esboçar rapidamente: marque o círculo x^{2}+y^{2}=5, marque a hipérbole y=2/x (alguns pontos: (1,2), (2,1), (0,\,\text{grande})), sombreie a área do primeiro quadrante que esteja dentro do círculo e com altura menor que 2/x. Não sombree sobre a curva xy=2 e não inclua os eixos.

Resposta

A região A é a porção do primeiro quadrante (x>0,y>0) contida no disco x^{2}+y^{2}\le5 e abaixo da hipérbole y=\dfrac{2}{x}; explicitamente, para 0<x<\sqrt{5},
A=\left\{(x,y)\;\middle|\;0<y<\min\!\left(\frac{2}{x},\sqrt{5-x^{2}}\right)\right\}.
Os pontos (1,2) e (2,1) são interseções da hipérbole com o círculo e estão sobre a fronteira mas não pertencem a A (porque xy=2 é estrito).

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