Questão 08: Determine a posição dos polos do sistema de segunda ordem que satisfaçam as seguintes especificações de desempenho:
- Sobressinal máximo:
; tempo de acomodação: 2 segundos;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e a teoria que vamos usar.
Você tem um sistema de segunda ordem padrão, cujo denominador é
Você tem um sistema de segunda ordem padrão, cujo denominador é
e daí os polos são
As especificações de desempenho são:
• Sobressinal máximo .
• Tempo de acomodação (2% do valor final) .
• Sobressinal máximo
• Tempo de acomodação (2% do valor final)
O que vamos precisar:
- A fórmula que relaciona
com o fator de amortecimento : - A fórmula do tempo de acomodação (2%) para sistema de segunda ordem:
Então, a ideia é:
- Usar
pra achar . - Usar
s e esse pra achar . - Botar tudo na expressão dos polos.
Passo 2
Vamos achar o fator de amortecimento
a partir do sobressinal máximo.
Temos
Temos
Passo a passo:
- Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
- Isolamos
:
- Elevamos ao quadrado:
- Somamos
aos dois lados:
- Então
Numericamente,
, logo
Passo 3
Agora usamos o tempo de acomodação
Ts approx 4zeta,omegan e a fórmula
Isolando
:
Passo 4
Tendo
s1,2 = -zeta,omegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 e
omeganraiz1-zeta^2 = 4,386raiz1 - 0,456^2 approx 4,386 times 0,891 approx 3,91 , os polos são
Vamos calcular parte real e imaginária:
• Parte real:
• Parte imaginária:
• Parte real:
• Parte imaginária:
Resposta
Os polos que atendem
s1,2 = -2,00 ;pm; j,3,91 e
são, aproximadamente: