Questão 08: Determine a posição dos polos do sistema de segunda ordem que satisfaçam as seguintes especificações de desempenho:
  • Sobressinal máximo: 20 %; tempo de acomodação: 2 segundos;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e a teoria que vamos usar.
Você tem um sistema de segunda ordem padrão, cujo denominador é
s^2 + 2,zeta,omegan,s + omegan^2,
e daí os polos são
s = -zeta,omegan pm j,omeganraiz1-zeta^2
As especificações de desempenho são:
• Sobressinal máximo Mp = e^-zetapiraiz1-zeta^2 .
• Tempo de acomodação (2% do valor final) Ts approx 4zeta,omegan .
O que vamos precisar:
  1. A fórmula que relaciona com o fator de amortecimento :
  2. A fórmula do tempo de acomodação (2%) para sistema de segunda ordem:
Então, a ideia é:
  1. Usar pra achar .
  2. Usar s e esse pra achar .
  3. Botar tudo na expressão dos polos.

Passo 2

Vamos achar o fator de amortecimento 0,2 = e^-zetapiraiz1-zeta^2 a partir do sobressinal máximo.
Temos
ln(0,2) = -zetapiraiz1-zeta^2
Passo a passo:
  1. Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
raiz1-zeta^2 = -zetapiln(0,2)
  1. Isolamos 1 - zeta^2 = zeta^2pi^2ln^2(0,2) :
1 = zeta^2 + zeta^2pi^2ln^2(0,2) = zeta^2l(1 + pi^2ln^2(0,2)r)
  1. Elevamos ao quadrado:
zeta^2 = 11 + dfracpi^2ln^2(0,2) Longrightarrow zeta = raiz11 + dfracpi^2ln^2(0,2)
  1. Somamos zeta approx 0,456 aos dois lados:
  1. Então
Numericamente, , logo

Passo 3

Agora usamos o tempo de acomodação Ts approx 4zeta,omegan e a fórmula
omegan = 4zeta,Ts = 40,456 times 2 approx 4,386 rad/s
Isolando :

Passo 4

Tendo s1,2 = -zeta,omegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 e omeganraiz1-zeta^2 = 4,386raiz1 - 0,456^2 approx 4,386 times 0,891 approx 3,91 , os polos são
Vamos calcular parte real e imaginária:
• Parte real:
• Parte imaginária:

Resposta

Os polos que atendem s1,2 = -2,00 ;pm; j,3,91 e são, aproximadamente:

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