Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso:
u=1+t, v=\frac{3}{4} t+3 t^{2}, t \in R em V=P_{2}(R) com o produto interno definido por:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(t) q(t) d t

Passo 1

O enunciado dá os vetores (polinômios) e o produto interno:
  • u(t)=1+t.
  • v(t)=\dfrac{3}{4}t+3t^{2}.
  • Produto interno em V=P_{2}(\mathbb{R}):
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(t)\,q(t)\,dt.
O que pede:
  1. A distância entre u e v, isto é \|u-v\|.
  2. O ângulo entre u e v, isto é \theta tal que \cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
  3. A projeção de u sobre v, isto é \operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.

Passo 2

Lembrando definições (rápido e direto):
  • Norma associada ao produto interno: \|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle}.
  • Distância: \|u-v\|=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}. Em prática usa-se a identidade \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle.
  • Projeção: \operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^{2}}\,v=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
    Agora vamos calcular os produtos internos necessários: \langle u,u\rangle,\\ \langle v,v\rangle,\\ \langle u,v\rangle.

Passo 3

Calcular \langle u,u\rangle.
\langle u,u\rangle=\int_{0}^{1}(1+t)^{2}\,dt=\int_{0}^{1}\bigl(1+2t+t^{2}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}1\,dt=1,\qquad \int_{0}^{1}2t\,dt=2\cdot\frac{1}{2}=1,\qquad \int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}.
Somando:
\langle u,u\rangle=1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Logo
\|u\|=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Passo 4

Calcular \langle v,v\rangle.
Primeiro expandir v(t)^{2}:
v(t)=\frac{3}{4}t+3t^{2}\quad\Rightarrow\quad v(t)^{2}=\left(\frac{3}{4}t\right)^{2}+2\left(\frac{3}{4}t\right)(3t^{2})+(3t^{2})^{2}.
Isso dá
v(t)^{2}=\frac{9}{16}t^{2}+\frac{9}{2}t^{3}+9t^{4}.
Agora integrar de 0 a 1:
\langle v,v\rangle=\int_{0}^{1}\left(\frac{9}{16}t^{2}+\frac{9}{2}t^{3}+9t^{4}\right)dt =\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{3}+\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{5}.
Calculemos:
\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{3}=\frac{9}{48}=\frac{3}{16},\qquad \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{8},\qquad 9\cdot\frac{1}{5}=\frac{9}{5}.
Somando em denominador comum (240) ou simplificando diretamente:
\langle v,v\rangle=\frac{9}{48}+\frac{9}{8}+\frac{9}{5}=\frac{747}{240}=\frac{249}{80}.
Portanto
\|v\|=\sqrt{\frac{249}{80}}.

Passo 5

Calcular \langle u,v\rangle.
Multiplicar u(t)(v(t)):
(1+t)\left(\frac{3}{4}t+3t^{2}\right)=\frac{3}{4}t+3t^{2}+\frac{3}{4}t^{2}+3t^{3} =\frac{3}{4}t+\frac{15}{4}t^{2}+3t^{3}.
Integrando de 0 a 1:
\langle u,v\rangle=\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{4}t+\frac{15}{4}t^{2}+3t^{3}\right)dt =\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}+\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{4}.
Calcule:
\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8},\qquad \frac{15}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4},\qquad 3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Somando:
\langle u,v\rangle=\frac{3}{8}+\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{8}+2=\frac{19}{8}.

Passo 6

Calcular a distância \|u-v\| usando \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle.
Substituindo os valores já obtidos:
\|u-v\|^{2}=\frac{7}{3}+\frac{249}{80}-2\cdot\frac{19}{8}.
Colocando em denominador comum 240:
\frac{7}{3}=\frac{560}{240},\qquad \frac{249}{80}=\frac{747}{240},\qquad 2\cdot\frac{19}{8}=\frac{1140}{240}.
Logo
\|u-v\|^{2}=\frac{560+747-1140}{240}=\frac{167}{240}.
Portanto a distância é
\|u-v\|=\sqrt{\frac{167}{240}}.
(Se quiser valor numérico aproximado: \|u-v\|\approx 0{,}8339.)

Passo 7

Calcular o ângulo \theta. Usamos
\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Substituindo os valores:
\cos\theta=\frac{\tfrac{19}{8}}{\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{\tfrac{249}{80}}}.
Simplificando radicalmente:
\cos\theta=\frac{19}{8}\cdot\sqrt{\frac{240}{1743}}=\frac{19\sqrt{15}}{2\sqrt{1743}}.
Assim o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{19\sqrt{15}}{2\sqrt{1743}}\right).
Valor numérico aproximado:
\theta\approx 0{,}490\\ \text{rad}\approx 28{,}1^\circ.

Passo 8

Calcular a projeção \operatorname{proj}_{v}u.
Fórmula:
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Já temos \langle u,v\rangle=\dfrac{19}{8} e \langle v,v\rangle=\dfrac{249}{80}. Então o escalar é
\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}=\frac{\tfrac{19}{8}}{\tfrac{249}{80}}=\frac{19}{8}\cdot\frac{80}{249}=\frac{190}{249}.
Portanto
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{190}{249}\left(\frac{3}{4}t+3t^{2}\right).
Multiplicando os coeficientes:
\operatorname{proj}_{v}u=\frac{95}{166}\,t+\frac{190}{83}\,t^{2}.

Resposta

\|u-v\|=\sqrt{\dfrac{167}{240}}\n
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{19\sqrt{15}}{2\sqrt{1743}}\right)\approx 0{,}490\\ \text{rad}\approx 28{,}1^\circ\n
\operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{190}{249}\!\left(\dfrac{3}{4}t+3t^{2}\right)=\dfrac{95}{166}t+\dfrac{190}{83}t^{2}

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