Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso:
em
com o produto interno definido por:
Passo 1
O enunciado dá os vetores (polinômios) e o produto interno:
-
. -
. - Produto interno em
:
O que pede:
- A distância entre
e , isto é . - O ângulo entre
e , isto é tal que . - A projeção de
sobre , isto é .
Passo 2
Lembrando definições (rápido e direto):
- Norma associada ao produto interno:
. - Distância:
. Em prática usa-se a identidade . - Projeção:
.
Agora vamos calcular os produtos internos necessários:.
Passo 3
Calcular
.
Integramos termo a termo:
Somando:
Logo
Passo 4
Calcular
.
Primeiro expandir :
Primeiro expandir
Isso dá
Agora integrar de
a
:
Calculemos:
Somando em denominador comum (240) ou simplificando diretamente:
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Multiplicar :
Multiplicar
Integrando de
a
:
Calcule:
Somando:
Passo 6
Calcular a distância
usando
.
Substituindo os valores já obtidos:
Substituindo os valores já obtidos:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Portanto a distância é
(Se quiser valor numérico aproximado:
.)
Passo 7
Calcular o ângulo
. Usamos
Substituindo os valores:
Simplificando radicalmente:
Assim o ângulo é
Valor numérico aproximado:
Passo 8
Calcular a projeção
.
Fórmula:
Fórmula:
Já temos
e
. Então o escalar é
Portanto
Multiplicando os coeficientes: