Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso:
u=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] em V=M_{3}(R) com o produto interno definido como
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{t} B\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes u e v em V=M_{3}(\mathbb{R}) e pede três coisas: a distância entre os vetores u e v, o ângulo entre eles e a projeção de u sobre v. As matrizes fornecidas são (peguei estes valores diretamente do enunciado):
u=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2pt] 4 & 5 & 6\\[2pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 1\\[2pt] 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
O produto interno no espaço é definido por
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\big(A^{t}B\big),
ou seja, a soma dos produtos elemento a elemento das matrizes. As perguntas específicas são:
  • Calcular a distância entre u e v relativa a esse produto interno.
  • Calcular o ângulo \theta entre u e v.
  • Calcular a projeção de u sobre v, isto é \operatorname{proj}_{v}u.]

Passo 2

Pequena revisão prática do que vamos usar (fórmulas e significado, com linguagem tranquila):
  • Produto interno dado: \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{t}B). Para matrizes de mesmo tamanho isso é igual a somar os produtos dos elementos correspondentes, isto é
\langle A,B\rangle=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}b_{ij}.
  • Norma induzida pelo produto interno: \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.
  • Distância entre u e v: \|u-v\|=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}.
  • Cosseno do ângulo entre u e v:
\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
  • Projeção de u sobre v:
\operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Em todas essas fórmulas, as quantidades \langle\cdot,\cdot\rangle, \|\cdot\| e \operatorname{proj} são calculadas usando o produto interno definido pelo traço.

Passo 3

Calcular o produto interno \langle u,v\rangle somando os produtos elemento a elemento (peguei os elementos de u e v do enunciado):
Linha 1: 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot1 = 1 + 4 + 3 = 8.
Linha 2: 4\cdot0 + 5\cdot0 + 6\cdot1 = 0 + 0 + 6 = 6.
Linha 3: 1\cdot2 + 1\cdot2 + 1\cdot2 = 2 + 2 + 2 = 6.
Somando as três linhas,
\langle u,v\rangle = 8 + 6 + 6 = 20.

Passo 4

Calcular \langle u,u\rangle e \langle v,v\rangle (que nos dão as normas ao tirar raiz):
Para u, soma dos quadrados dos elementos (peguei os elementos de u do enunciado):
Linha 1: 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14.
Linha 2: 4^2+5^2+6^2 = 16+25+36 = 77.
Linha 3: 1^2+1^2+1^2 = 1+1+1 = 3.
Logo
\langle u,u\rangle = 14 + 77 + 3 = 94, \qquad \|u\|=\sqrt{94}.
Para v, soma dos quadrados dos elementos (peguei os elementos de v do enunciado):
Linha 1: 1^2+2^2+1^2 = 1+4+1 = 6.
Linha 2: 0^2+0^2+1^2 = 0+0+1 = 1.
Linha 3: 2^2+2^2+2^2 = 4+4+4 = 12.
Logo
\langle v,v\rangle = 6 + 1 + 12 = 19, \qquad \|v\|=\sqrt{19}.

Passo 5

Calcular a distância \|u-v\|. Primeiro formar u-v (subtração elemento a elemento, peguei elementos de u e v do enunciado):
u-v=\begin{pmatrix} 1-1 & 2-2 & 3-1\\[2pt] 4-0 & 5-0 & 6-1\\[2pt] 1-2 & 1-2 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\[2pt] 4 & 5 & 5\\[2pt] -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora somar os quadrados dos elementos para \langle u-v, u-v\rangle:
Linha 1: 0^2+0^2+2^2 = 4.
Linha 2: 4^2+5^2+5^2 = 16+25+25 = 66.
Linha 3: (-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 1+1+1 = 3.
Total:
\langle u-v,u-v\rangle = 4 + 66 + 3 = 73.
Portanto a distância é
\|u-v\|=\sqrt{73}.]

Passo 6

Calcular o ângulo \theta. Usamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}=\dfrac{20}{\sqrt{94}\,\sqrt{19}}=\dfrac{20}{\sqrt{1786}}.
Assim o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{20}{\sqrt{1786}}\right).
Uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor aproximado) é
\theta\approx 1{,}078\\ \text{rad}\approx 61{,}76^\circ.

Passo 7

Calcular a projeção de u sobre v. A fórmula é
\operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Substituindo os valores encontrados ( \langle u,v\rangle=20 e \langle v,v\rangle=19):
\operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{20}{19}\,v.
Multiplicando cada entrada de v por 20/19 (peguei os elementos de v do enunciado), obtemos
\operatorname{proj}_{v}u= \begin{pmatrix} \dfrac{20}{19} & \dfrac{40}{19} & \dfrac{20}{19}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{20}{19}\\[6pt] \dfrac{40}{19} & \dfrac{40}{19} & \dfrac{40}{19} \end{pmatrix}.
Se for necessário, pode-se dar essa projeção em forma decimal aproximada multiplicando 20/19\approx 1{,}0526315789 pelas entradas de v.]

Resposta

\|u-v\|=\sqrt{73}
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{20}{\sqrt{1786}}\right)\approx 1{,}078\\ \text{rad}\approx 61{,}76^\circ
\displaystyle \operatorname{proj}_{v}u=\dfrac{20}{19}\begin{pmatrix}1&2&1\\[2pt]0&0&1\\[2pt]2&2&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{20}{19} & \dfrac{40}{19} & \dfrac{20}{19}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{20}{19}\\[6pt] \dfrac{40}{19} & \dfrac{40}{19} & \dfrac{40}{19} \end{pmatrix}]

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