Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso: u=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] em V=M_{3}(R) com o produto interno definido como \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{t} B\right)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes u e v em V=M_{3}(\mathbb{R}) e pede três coisas: a distância entre os vetores u e v, o ângulo entre eles e a projeção de u sobre v. As matrizes fornecidas são (peguei estes valores diretamente do enunciado):
ou seja, a soma dos produtos elemento a elemento das matrizes. As perguntas específicas são:
Calcular a distância entre u e v relativa a esse produto interno.
Calcular o ângulo \theta entre u e v.
Calcular a projeção de u sobre v, isto é \operatorname{proj}_{v}u.]
Passo 2
Pequena revisão prática do que vamos usar (fórmulas e significado, com linguagem tranquila):
Produto interno dado: \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{t}B). Para matrizes de mesmo tamanho isso é igual a somar os produtos dos elementos correspondentes, isto é
Em todas essas fórmulas, as quantidades \langle\cdot,\cdot\rangle, \|\cdot\| e \operatorname{proj} são calculadas usando o produto interno definido pelo traço.
Passo 3
Calcular o produto interno \langle u,v\rangle somando os produtos elemento a elemento (peguei os elementos de u e v do enunciado):
Linha 1: 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot1 = 1 + 4 + 3 = 8.
Linha 2: 4\cdot0 + 5\cdot0 + 6\cdot1 = 0 + 0 + 6 = 6.
Linha 3: 1\cdot2 + 1\cdot2 + 1\cdot2 = 2 + 2 + 2 = 6.
Somando as três linhas,
\langle u,v\rangle = 8 + 6 + 6 = 20.
Passo 4
Calcular \langle u,u\rangle e \langle v,v\rangle (que nos dão as normas ao tirar raiz):
Para u, soma dos quadrados dos elementos (peguei os elementos de u do enunciado):
Linha 1: 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14.
Linha 2: 4^2+5^2+6^2 = 16+25+36 = 77.
Linha 3: 1^2+1^2+1^2 = 1+1+1 = 3.
Logo
Para v, soma dos quadrados dos elementos (peguei os elementos de v do enunciado):
Linha 1: 1^2+2^2+1^2 = 1+4+1 = 6.
Linha 2: 0^2+0^2+1^2 = 0+0+1 = 1.
Linha 3: 2^2+2^2+2^2 = 4+4+4 = 12.
Logo
Agora somar os quadrados dos elementos para \langle u-v, u-v\rangle:
Linha 1: 0^2+0^2+2^2 = 4.
Linha 2: 4^2+5^2+5^2 = 16+25+25 = 66.
Linha 3: (-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 1+1+1 = 3.
Total:
\langle u-v,u-v\rangle = 4 + 66 + 3 = 73.
Portanto a distância é
\|u-v\|=\sqrt{73}.]
Passo 6
Calcular o ângulo \theta. Usamos a fórmula do cosseno: