Questão-06. Seja
o espaço vetorial real das funções contínuas de
em R .
Considere W o subespaço vetorial de
gerado pelos vetores
e
. Definamos
.
a) Mostre que
é um produto interno sobre V
b) Calcule
c) Determine as normas dos vetores
e
d) Calcule o ângulo entre os vetores
e
e) Calcule a distância entre os vetores
e q(t)
f) Encontre a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
g) Exiba uma base ortogonal para o subespaço vetorial W
h) Encontre base ortonormal para o subespaço vetorial W
Considere W o subespaço vetorial de
a) Mostre que
b) Calcule
c) Determine as normas dos vetores
d) Calcule o ângulo entre os vetores
e) Calcule a distância entre os vetores
f) Encontre a projeção ortogonal do vetor
g) Exiba uma base ortogonal para o subespaço vetorial W
h) Encontre base ortonormal para o subespaço vetorial W
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
(funções contínuas em
) e define o subespaço
com
Foi também dada a forma bilinear definida por
As perguntas são, em ordem:
a) Mostrar que é produto interno sobre
.
b) Calcular .
c) Determinar as normas e
.
d) Calcular o ângulo entre e
.
e) Calcular a distância entre e
.
f) Encontrar a projeção ortogonal de sobre
.
g) Exibir uma base ortogonal para .
h) Encontrar uma base ortonormal para .
a) Mostrar que
b) Calcular
c) Determinar as normas
d) Calcular o ângulo entre
e) Calcular a distância entre
f) Encontrar a projeção ortogonal de
g) Exibir uma base ortogonal para
h) Encontrar uma base ortonormal para
Vou tratar cada item passo a passo e explicar as fórmulas usadas.
Passo 2
Definição e verificação (parte a): o que significa ser produto interno? Para um espaço vetorial real,
deve satisfazer três propriedades principais para todos
e
:
- Linearidade em cada argumento (bilinearidade):
. - Simetria:
. - Positividade definida:
e se, e somente se, é a função zero.
Vou verificar cada uma usando propriedades básicas da integral.
Passo 3
Verificação da linearidade:
Sejam e
. Usando linearidade da integral temos
Sejam
Portanto a linearidade está garantida.
Passo 4
Verificação da simetria:
Pelo comutativo do produto real e troca de fatores dentro da integral,
Pelo comutativo do produto real e troca de fatores dentro da integral,
Passo 5
Verificação da positividade definida:
Como
para todo
, a integral é
. Se
, então
. Como
é contínua, se existisse
com
haveria um intervalo em que
, fazendo a integral positiva — contradição. Logo
para todo
. Isso mostra que é positiva definida. Assim
satisfaz as três propriedades e é um produto interno em
.
Passo 6
Cálculo de
(parte b):
Primeiro expandimos o produto:
Primeiro expandimos o produto:
Calculamos a integral
Avaliaremos:
Portanto
.
Passo 7
Cálculo das normas (parte c):
A norma é dada por .
A norma é dada por
Calcule
:
Aqui
,
(função ímpar), e
. Logo
Portanto
O cálculo para
é análogo porque
, o termo em
também integra zero, então
Passo 8
Cálculo do ângulo (parte d):
A fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores é
A fórmula do cosseno do ângulo
Substituindo os valores já obtidos:
Logo
Portanto
(ou
).
Passo 9
Cálculo da distância (parte e):
A distância entre e
é
. Calcule primeiro
:
A distância entre
Então
Logo
Observação: aqui a distância coincide numericamente com as normas de
e
porque
e o ângulo entre eles é
(isto é uma coincidência dos dados).
Passo 10
Projeção ortogonal de
sobre
(parte f):
A fórmula da projeção de sobre
é
A fórmula da projeção de
Já calculamos
e
. Assim o coeficiente é
Portanto
Passo 11
Construção de uma base ortogonal para
(parte g) — Gram–Schmidt:
Começamos com . Para obter um segundo vetor ortogonal a
a partir de
, subtraímos a projeção de
sobre
:
Começamos com
Usando o coeficiente
já encontrado,
Uma forma equivalente mais simples (multiplicando por
) é usar o vetor
. Assim uma base ortogonal para
é, por exemplo,
Ou, de forma equivalente,
pois a segunda é apenas um múltiplo escalar do
e a multiplicação por escalar não muda a ortogonalidade.
Passo 12
Normalização para obter base ortonormal (parte h):
Já temos . Para
calculemos a norma:
Já temos
Então
Expandindo e integrando:
Logo
Portanto
Assim uma base ortonormal é dada por normalizar
e
:
Verifique mentalmente:
.
Resposta
a) Sim.
é um produto interno em
.
b)
c)
d)
(ou
).
e)
f)
g) Uma base ortogonal para
é
(equivalente a
).
h) Uma base ortonormal para
é