Questão-06. Seja V=C([-1,1], R) o espaço vetorial real das funções contínuas de [-1,1] em R .
Considere W o subespaço vetorial de V gerado pelos vetores p(t)=1+t e q(t)=1-t. Definamos
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) d t.
a) Mostre que \langle f, g\rangle é um produto interno sobre V
b) Calcule \langle p(t), q(t)\rangle
c) Determine as normas dos vetores \mathrm{p}(\mathrm{t}) e \mathrm{q}(\mathrm{t})
d) Calcule o ângulo entre os vetores \mathrm{p}(\mathrm{t}) e \mathrm{q}(\mathrm{t})
e) Calcule a distância entre os vetores \mathrm{p}(\mathrm{t}) e q(t)
f) Encontre a projeção ortogonal do vetor \mathrm{q}(\mathrm{t}) sobre o vetor \mathrm{p}(\mathrm{t})
g) Exiba uma base ortogonal para o subespaço vetorial W
h) Encontre base ortonormal para o subespaço vetorial W

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=C([-1,1],\mathbb{R}) (funções contínuas em [-1,1]) e define o subespaço W=\operatorname{span}\{p,q\} com
p(t)=1+t,\qquad q(t)=1-t.
Foi também dada a forma bilinear definida por
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.
As perguntas são, em ordem:
a) Mostrar que \langle f,g\rangle é produto interno sobre V.
b) Calcular \langle p(t),q(t)\rangle.
c) Determinar as normas \|p\| e \|q\|.
d) Calcular o ângulo entre p e q.
e) Calcular a distância entre p e q.
f) Encontrar a projeção ortogonal de q sobre p.
g) Exibir uma base ortogonal para W.
h) Encontrar uma base ortonormal para W.
Vou tratar cada item passo a passo e explicar as fórmulas usadas.

Passo 2

Definição e verificação (parte a): o que significa ser produto interno? Para um espaço vetorial real, \langle\cdot,\cdot\rangle deve satisfazer três propriedades principais para todos f,g,h\in V e \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Linearidade em cada argumento (bilinearidade): \langle \alpha f + h, g\rangle = \alpha\langle f,g\rangle + \langle h,g\rangle.
  2. Simetria: \langle f,g\rangle = \langle g,f\rangle.
  3. Positividade definida: \langle f,f\rangle \ge 0 e \langle f,f\rangle = 0 se, e somente se, f é a função zero.
Vou verificar cada uma usando propriedades básicas da integral.

Passo 3

Verificação da linearidade:
Sejam f,h,g\in V e \alpha\in\mathbb{R}. Usando linearidade da integral temos
\langle \alpha f + h, g\rangle = \int_{-1}^{1} (\alpha f(t)+h(t))\,g(t)\,dt = \alpha\int_{-1}^{1} f(t)g(t)\,dt + \int_{-1}^{1} h(t)g(t)\,dt = \alpha\langle f,g\rangle + \langle h,g\rangle.
Portanto a linearidade está garantida.

Passo 4

Verificação da simetria:
Pelo comutativo do produto real e troca de fatores dentro da integral,
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)g(t)\,dt = \int_{-1}^{1} g(t)f(t)\,dt = \langle g,f\rangle.

Passo 5

Verificação da positividade definida:
\langle f,f\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)^2\,dt.
Como f^2(t)\ge 0 para todo t, a integral é \ge 0. Se \langle f,f\rangle=0, então \int_{-1}^{1} f(t)^2\,dt=0. Como f é contínua, se existisse t_0 com f(t_0)\neq 0 haveria um intervalo em que f^2(t)>0, fazendo a integral positiva — contradição. Logo f(t)=0 para todo t. Isso mostra que é positiva definida. Assim \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz as três propriedades e é um produto interno em V.

Passo 6

Cálculo de \langle p,q\rangle (parte b):
Primeiro expandimos o produto:
p(t)q(t)=(1+t)(1-t)=1-t^2.
Calculamos a integral
\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1} (1-t^2)\,dt = \left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}.
Avaliaremos:
\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Portanto \langle p,q\rangle=\tfrac{4}{3}.

Passo 7

Cálculo das normas (parte c):
A norma é dada por \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.
Calcule \langle p,p\rangle:
p(t)^2=(1+t)^2=1+2t+t^2,
\langle p,p\rangle=\int_{-1}^{1} (1+2t+t^2)\,dt = \int_{-1}^{1}1\,dt + 2\int_{-1}^{1}t\,dt + \int_{-1}^{1} t^2\,dt.
Aqui \int_{-1}^{1}1\,dt=2, \int_{-1}^{1}t\,dt=0 (função ímpar), e \int_{-1}^{1}t^2\,dt=\tfrac{2}{3}. Logo
\langle p,p\rangle=2+0+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto
\|p\|=\sqrt{\frac{8}{3}}.
O cálculo para q é análogo porque q(t)^2=(1-t)^2=1-2t+t^2, o termo em t também integra zero, então
\langle q,q\rangle=\frac{8}{3},\qquad \|q\|=\sqrt{\frac{8}{3}}.

Passo 8

Cálculo do ângulo (parte d):
A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores é
\cos\theta=\frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\|q\|}.
Substituindo os valores já obtidos:
\|p\|\|q\|=\sqrt{\frac{8}{3}}\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{8}{3}, \qquad \langle p,q\rangle=\frac{4}{3}.
Logo
\cos\theta=\frac{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\frac{1}{2}.
Portanto \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ).

Passo 9

Cálculo da distância (parte e):
A distância entre p e q é \|p-q\|. Calcule primeiro p-q:
p(t)-q(t)=(1+t)-(1-t)=2t.
Então
\|p-q\|^2=\int_{-1}^{1} (2t)^2\,dt = 4\int_{-1}^{1} t^2\,dt = 4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.
Logo
\|p-q\|=\sqrt{\frac{8}{3}}.
Observação: aqui a distância coincide numericamente com as normas de p e q porque \|p\|=\|q\| e o ângulo entre eles é \tfrac{\pi}{3} (isto é uma coincidência dos dados).

Passo 10

Projeção ortogonal de q sobre p (parte f):
A fórmula da projeção de q sobre p é
\operatorname{proj}_{p} q = \frac{\langle q,p\rangle}{\langle p,p\rangle}\, p.
Já calculamos \langle q,p\rangle=\tfrac{4}{3} e \langle p,p\rangle=\tfrac{8}{3}. Assim o coeficiente é
\frac{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\operatorname{proj}_{p} q = \frac{1}{2}p(t)=\frac{1}{2}(1+t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t.

Passo 11

Construção de uma base ortogonal para W (parte g) — Gram–Schmidt:
Começamos com u_1=p. Para obter um segundo vetor ortogonal a u_1 a partir de q, subtraímos a projeção de q sobre u_1:
u_2 = q - \operatorname{proj}_{u_1} q = q - \frac{\langle q,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.
Usando o coeficiente \tfrac{1}{2} já encontrado,
u_2 = q - \frac{1}{2}p = (1-t) - \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}t.
Uma forma equivalente mais simples (multiplicando por 2) é usar o vetor w_2=1-3t. Assim uma base ortogonal para W é, por exemplo,
\{\,p(t)=1+t,\; u_2(t)=q(t)-\tfrac{1}{2}p(t)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}t\,\}.
Ou, de forma equivalente,
\{\,1+t,\; 1-3t\,\},
pois a segunda é apenas um múltiplo escalar do u_2 e a multiplicação por escalar não muda a ortogonalidade.

Passo 12

Normalização para obter base ortonormal (parte h):
Já temos \|p\|=\sqrt{\tfrac{8}{3}}. Para u_2 calculemos a norma:
u_2(t)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t=\frac{1}{2}(1-3t).
Então
\|u_2\|^2=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}(1-3t)^2\,dt.
Expandindo e integrando:
(1-3t)^2=1-6t+9t^2,\qquad \int_{-1}^{1}1\,dt=2,\\ \int_{-1}^{1}t\,dt=0,\\ \int_{-1}^{1}t^2\,dt=\tfrac{2}{3}.
Logo
\int_{-1}^{1}(1-3t)^2\,dt = 2 + 0 + 9\cdot\frac{2}{3} = 2 + 6 = 8.
Portanto
\|u_2\|^2=\frac{1}{4}\cdot 8 = 2,\qquad \|u_2\|=\sqrt{2}.
Assim uma base ortonormal é dada por normalizar p e u_2:
e_1 = \frac{p}{\|p\|} = \sqrt{\frac{3}{8}}(1+t), \qquad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(1-3t).
Verifique mentalmente: \langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}.

Resposta

a) Sim. \langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)g(t)\,dt é um produto interno em V.
b) \langle p,q\rangle=\dfrac{4}{3}.
c) \|p\|=\sqrt{\dfrac{8}{3}},\qquad \|q\|=\sqrt{\dfrac{8}{3}}.
d) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ).
e) \|p-q\|=\sqrt{\dfrac{8}{3}}.
f) \displaystyle \operatorname{proj}_{p} q = \frac{1}{2}p(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t.
g) Uma base ortogonal para W é \{\,p(t)=1+t,\; q(t)-\tfrac{1}{2}p(t)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}t\,\} (equivalente a \{1+t,\;1-3t\}).
h) Uma base ortonormal para W é
\left\{\,\sqrt{\tfrac{3}{8}}(1+t),\;\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(1-3t)\,\right\}.

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