Questão 07

Um dipolo elétrico de momento dipolar
\vec{p}=1,24 \cdot 10^{-30}(3,00 \hat{\imath}+4,00 \hat{\jmath}) \mathrm{C} \cdot \mathrm{~m}
É submetido a um campo elétrico \vec{E}=\left(4,00 \cdot 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C}\right) \hat{\imath}+\left(-2,50 \cdot 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C}\right) \hat{\jmath}.
a) Determine o torque que age sobre o dipolo elétrico?
b) Determine a variação da energia potencial do dipolo?
c) Se um agente externo faz girar o dipolo até que o momento dipolar seja
\vec{p}=1,24 \cdot 10^{-30}(-4,00 \hat{\imath}+3,00 \hat{\jmath}) \mathrm{C} \cdot \mathrm{~m}
qual é o trabalho realizado pelo agente externo?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (três itens):
a) o torque que age sobre o dipolo elétrico;
b) a variação (ou valor) da energia potencial do dipolo na configuração dada;
c) o trabalho realizado por um agente externo ao girar o dipolo até uma nova orientação dada.
Dados fornecidos no enunciado (peguei esses valores do enunciado):
\vec{p}=1,24\cdot10^{-30}(3,00\:\hat{\imath}+4,00\:\hat{\jmath})\\ \mathrm{C\cdot m}
\vec{E}=(4,00\cdot10^{3}\:\mathrm{N/C})\:\hat{\imath}+(-2,50\cdot10^{3}\:\mathrm{N/C})\:\hat{\jmath}
e a nova orientação do momento dipolar (para o item c):
\vec{p}\,'=1,24\cdot10^{-30}(-4,00\:\hat{\imath}+3,00\:\hat{\jmath})\\ \mathrm{C\cdot m}

Passo 2

Ensinando a fórmula do torque e preparando os componentes:
A fórmula que usamos é a do momento de torque de um dipolo elétrico num campo uniforme:
\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}.
Primeiro vamos calcular os componentes de \vec{p} explicitamente (multiplicando o fator escalar pelos componentes):
p_x=1,24\cdot10^{-30}\times3,00=3,72\cdot10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_y=1,24\cdot10^{-30}\times4,00=4,96\cdot10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_z=0.
E os componentes de \vec{E} são
E_x=4,00\cdot10^{3}\\ \mathrm{N/C},\qquad E_y=-2,50\cdot10^{3}\\ \mathrm{N/C},\qquad E_z=0.

Passo 3

Calculando o produto vetorial (torque):
Para vetores que só têm componentes em x e y o produto vetorial aponta na direção z e seu componente é
\tau_z=p_xE_y-p_yE_x.
Agora substituímos os números:
p_xE_y=(3,72\cdot10^{-30})\times(-2,50\cdot10^{3})=-9,30\cdot10^{-27}\\ \mathrm{N\cdot m},
p_yE_x=(4,96\cdot10^{-30})\times(4,00\cdot10^{3})=19,84\cdot10^{-27}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Logo
\tau_z=-9,30\cdot10^{-27}-19,84\cdot10^{-27}=-29,14\cdot10^{-27}=-2,914\cdot10^{-26}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Como só há componente z,
\vec{\tau}= -2,914\cdot10^{-26}\:\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Ensinando a fórmula da energia potencial e calculando o valor inicial:
A energia potencial de um dipolo elétrico num campo uniforme é
U=-\vec{p}\cdot\vec{E}.
O produto escalar é
\vec{p}\cdot\vec{E}=p_xE_x+p_yE_y.
Calculamos cada termo:
p_xE_x=(3,72\cdot10^{-30})\times(4,00\cdot10^{3})=14,88\cdot10^{-27}=1,488\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J},
p_yE_y=(4,96\cdot10^{-30})\times(-2,50\cdot10^{3})=-12,40\cdot10^{-27}=-1,240\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Somando:
\vec{p}\cdot\vec{E}=1,488\cdot10^{-26}-1,240\cdot10^{-26}=0,248\cdot10^{-26}=2,48\cdot10^{-27}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia potencial inicial é
U_{\text{inicial}}=-\vec{p}\cdot\vec{E}=-2,48\cdot10^{-27}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Preparando o cálculo para o item (c): energia final e trabalho do agente externo.
Primeiro calculamos os componentes de \vec{p}\,' (dados no enunciado):
p'_x=1,24\cdot10^{-30}\times(-4,00)=-4,96\cdot10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p'_y=1,24\cdot10^{-30}\times3,00=3,72\cdot10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p'_z=0.
Calculamos o produto escalar \vec{p}\,'\cdot\vec{E}:
p'_xE_x=(-4,96\cdot10^{-30})\times(4,00\cdot10^{3})=-19,84\cdot10^{-27}=-1,984\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J},
p'_yE_y=(3,72\cdot10^{-30})\times(-2,50\cdot10^{3})=-9,30\cdot10^{-27}=-0,930\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Somando:
\vec{p}\,'\cdot\vec{E}=-1,984\cdot10^{-26}-0,930\cdot10^{-26}=-2,914\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Logo a energia potencial final é
U_{\text{final}}=-\vec{p}\,'\cdot\vec{E}=+2,914\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado pelo agente externo:
Num processo quasi-estático, o trabalho realizado pelo agente externo para girar o dipolo é igual à variação da energia potencial:
W_{\text{ext}}=\Delta U=U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}}.
Substituindo os valores que já achamos:
W_{\text{ext}}=2,914\cdot10^{-26}-(-2,48\cdot10^{-27})=2,914\cdot10^{-26}+0,248\cdot10^{-26}=3,162\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Interpretação curta: o trabalho é positivo, ou seja, o agente externo realizou trabalho sobre o dipolo aumentando sua energia potencial.

Resposta

(a) \vec{\tau}=-2,914\cdot10^{-26}\:\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}
(b) \Delta U (energia potencial na configuração dada) =U_{\text{inicial}}=-2,48\cdot10^{-27}\\ \mathrm{J}
(c) W_{\text{ext}}=3,162\cdot10^{-26}\\ \mathrm{J}

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