Quando um pinguim imperador volta para casa depois de sair à procura de alimento, como ele consegue encontrar o companheiro ou companheira no meio de milhares de pinguins reunidos para se proteger do rigoroso inverno da Antártica? Não é pela visão, já que todos os pinguins são muito parecidos, mesmo para outros pinguins. A resposta está no modo como os pinguins emitem sons. A maioria dos pássaros emite sons usando apenas um dos dois lados do órgão vocal, chamado siringe. Os pinguins imperadores, porém, emitem sons usando simultaneamente os dois lados da siringe. Cada lado produz ondas acústicas estacionárias na garganta e na boca do pássaro, como em um tubo com as duas extremidades abertas. Suponha que a frequência do primeiro harmônico produzido pelo lado A da siringe é \mathrm{f}_{\mathrm{A} 1}= 432 Hz e que a frequência do primeiro harmônico produzido pela extremidade B é f_{\mathrm{B} 1}=371 \mathrm{~Hz}. Qual é a frequência de batimento entre as duas frequências do primeiro harmônico e entre as duas frequências do segundo harmônico?
Passo 1
O enunciado dá duas frequências correspondentes ao primeiro harmônico (fundamental) produzidas pelos dois lados da siringe do pinguim: \mathrm{f}_{\mathrm{A}1}=432\\ \mathrm{Hz} e \mathrm{f}_{\mathrm{B}1}=371\\ \mathrm{Hz}. Pergunta-se:
Qual é a frequência de batimento entre as duas frequências do primeiro harmônico?
Qual é a frequência de batimento entre as duas frequências do segundo harmônico?
Passo 2
Vou explicar o que é frequência de batimento (para você poder aplicar isto na prova). Quando duas ondas sonoras de frequências próximas f_1 e f_2 se somam, a amplitude resultante varia no tempo com uma taxa chamada frequência de batimento. Essa taxa é simplesmente a diferença absoluta entre as frequências das duas ondas. Em fórmula:
f_{\text{bat}} = \big| f_1 - f_2 \big|
Aqui f_{\text{bat}} é a frequência com que a intensidade sonora sobe e desce (o “pulsar” que você ouve), f_1 e f_2 são as frequências das duas ondas. Intuitivamente: se uma onda oscila a 440\\ \mathrm{Hz} e outra a 444\\ \mathrm{Hz}, a batida ocorrerá 4 vezes por segundo porque as cristas alinham-se e desalinh a cada 1/4 s — por isso a diferença.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior às duas primeiras frequências dadas (os primeiros harmônicos):
Agora preciso explicar como obter os segundos harmônicos de cada lado da siringe. A descrição diz que cada lado age como um tubo com as duas extremidades abertas (um tubo aberto em ambas as extremidades). Para esse caso os harmônicos são múltiplos inteiros do fundamental: o n-ésimo harmônico tem frequência
\mathrm{f}_n = n \cdot \mathrm{f}_1,
onde \mathrm{f}_1 é o primeiro harmônico (fundamental) e n é um inteiro positivo. Aqui n=2 dá o segundo harmônico. (Rápida intuição: em um tubo aberto as ondas estacionárias têm comprimentos de onda \lambda_n = \dfrac{2L}{n}, e como f = v/\lambda isso leva a f_n = n\,v/(2L) = n f_1. Em notação: L é o comprimento do “tubo” e v é a velocidade do som — não precisamos dos valores de L ou v porque trabalhamos com múltiplos do fundamental.)
Passo 5
Calcular os segundos harmônicos dos dois lados usando \mathrm{f}_{\text{2}}=2\mathrm{f}_{1}:
Cheque rápido e observação útil para a prova: como os segundos harmônicos são exatamente o dobro dos primeiros, a diferença entre eles também dobra. Ou seja,