Questão 05: Um cabo coaxial contém um material com condutividade \sigma=k / \rho, onde k é uma constante. Se o cilindro interno tem raio a e o cilindro externo raio b, determine a sua resistência elétrica por unidade de comprimento. Considere que V_{0} seja a diferença
de potencial entre os condutores internos e externo, tal que V(\rho=a)=V_{0} e V(\rho=b)= 0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a resistência elétrica “por unidade de comprimento” de um cabo coaxial formado por dois cilindros concêntricos. Dados importantes fornecidos:
  • O condutor entre os cilindros tem condutividade dependente do raio: \sigma(\rho)=\dfrac{k}{\rho}, onde k é uma constante.
  • Raio do cilindro interno: \rho=a.
  • Raio do cilindro externo: \rho=b.
  • Diferença de potencial imposta: V(\rho=a)=V_0 e V(\rho=b)=0.
  • A figura implícita tem simetria cilíndrica e a corrente flui radialmente do condutor interno para o externo.
    O objetivo final: obter a resistência elétrica por unidade de comprimento (uma expressão envolvendo a,b,k e possivelmente V_0 ou a corrente I, conforme convenção).

Passo 2

Entender as quantidades físicas e as fórmulas básicas que vamos usar:
  • Densidade de corrente elétrica (vetor) \mathbf{J} e campo elétrico \mathbf{E} estão relacionados pela lei de Ohm local: \mathbf{J}=\sigma(\rho)\mathbf{E}. Aqui \sigma(\rho) é a condutividade no ponto de raio \rho.
  • O campo elétrico radial em função do potencial escalar V(\rho) é \mathbf{E}=-\nabla V. Pela simetria cilíndrica isso vira E(\rho)=-\dfrac{dV}{d\rho} na direção radial.
  • A corrente total I atravessando uma superfície cilíndrica de raio \rho e comprimento L (comprimento axial do trecho considerado) é dada por multiplicar a densidade de corrente pela área dessa superfície: I = J(\rho)\times \text{área} = J(\rho)\, (2\pi \rho L)á. Aqui 2\pi \rho L é a área lateral do cilindro de raio \rho e altura L.
    Vou usar essas relações para ligar V(\rho) a I e daí obter a resistência.

Passo 3

Escrever a expressão da corrente em termos do potencial e da condutividade:
  • Aplicando \mathbf{J}=\sigma(\rho)\mathbf{E} e E(\rho)=-\dfrac{dV}{d\rho} e multiplicando pela área 2\pi\rho L, obtemos
I = \sigma(\rho)\,E(\rho)\,2\pi\rho L = \sigma(\rho)\left(-\frac{dV}{d\rho}\right)2\pi\rho L.
  • Substituindo \sigma(\rho)=\dfrac{k}{\rho} (dado do enunciado) na expressão acima, notamos que o fator \rho cancela:
I = \frac{k}{\rho}\left(-\frac{dV}{d\rho}\right)2\pi\rho L = -2\pi k L \frac{dV}{d\rho}.
Expliquei: o produto \sigma(\rho)\rho = (k/\rho)\rho = k torna a equação muito simples.

Passo 4

Isolar a derivada do potencial e integrar:
  • Da expressão anterior temos uma equação diferencial simples:
\frac{dV}{d\rho} = -\frac{I}{2\pi k L}.
Essa derivada é constante em \rho (curioso e útil).
  • Integrando em \rho de a até b, usando as condições de contorno V(a)=V_0 e V(b)=0, fazemos:
\int_{a}^{b} \frac{dV}{d\rho}\,d\rho = -\frac{I}{2\pi k L}\int_{a}^{b} d\rho.
  • O lado esquerdo é V(b)-V(a)=0-V_0=-V_0. O lado direito dá -\dfrac{I}{2\pi k L}(b-a). Portanto
- V_0 = -\frac{I}{2\pi k L}(b-a).

Passo 5

Resolver para a corrente I e relacionar com a resistência total:
  • Da equação do passo anterior segue
I = \frac{2\pi k L}{\,b-a\,}\;V_0.
  • A resistência elétrica entre os cilindros para um trecho de comprimento axial L é definida por R(L)=\dfrac{V_0}{I}. Substituindo I obtemos
R(L) = \frac{V_0}{I} = \frac{b-a}{2\pi k L}.
Comentário didático: aqui vemos que R(L) diminui quando aumentamos L porque a área transversal (para a corrente radial) aumenta proporcionalmente a L.

Passo 6

Interpretar “resistência por unidade de comprimento” e escrever a forma final:
  • Em problemas de condutividade radial é comum apresentar a resistência por unidade de comprimento axial como a resistência multiplicada por L que resulta numa quantidade independente de L. Outra convenção é dividir por L; para evitar confusão, vou dar a expressão que é usual em eletromagnetismo para “resistência por unidade de comprimento” entendida como resistência do trecho de comprimento 1 (ou seja, R(L) para L=1), e também indicar a resistência para comprimento genérico L.
  • Assim, para comprimento genérico L temos (repetindo)
R(L)=\frac{b-a}{2\pi k L}.
  • A resistência por unidade de comprimento axial (isto é, a resistência do trecho de comprimento 1) é
R' = R(L)\big|_{L=1} = \frac{b-a}{2\pi k}.
Explicação curta: como R(L) varia como 1/L, o produto R(L)\cdot L é constante e igual a R'; então outra forma de ver R' é R' = R(L)\,L.

Passo 7

Resumo e comentário final amigo:
  • Concluímos a partir da lei local de Ohm e da simetria cilíndrica que a condutividade \sigma(\rho)=k/\rho simplifica muito as contas porque anula a dependência em \rho na equação para dV/d\rho.
  • A técnica usada é a padrão em provas: escrever I através de J=\sigma E, usar a área cilíndrica 2\pi\rho L, integrar com as condições de contorno, e então extrair R. Se repetir esses passos com outras funções \sigma(\rho) vai dar uma integral na forma \int_a^b \dfrac{d\rho}{\sigma(\rho)\rho} — fica a dica para exercícios parecidos.
  • Força aí! Você já tem a fórmula pronta para decorar e aplicar numa prova.

Resposta

R(L)=\frac{b-a}{2\pi k L}
\text{Resistência por unidade de comprimento: }R'=\frac{b-a}{2\pi k}ê

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