Um capacitor de placas paralelas tem suas placas em
, d e o espaço entre as placas é preenchido com um dielétrico com permissividade
. Se a placa em
é mantida em
, enquanto a placa em
estiver aterrada, determine:
(a) a capacitância
(a) a capacitância
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Temos um capacitor de placas paralelas com as placas em
e . - O espaço entre as placas está preenchido por um dielétrico cuja permissividade depende de
: - A placa em
está mantida à tensão . - A placa em
está aterrada (ou seja, potencial zero). - Pergunta: determinar a capacitância (assuma que as placas têm área
grande e campo somente na direção ).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
- Campo elétrico
e deslocamento elétrico estão relacionados pela lei do material do dielétrico: Aqui é a permissividade local, é o campo elétrico e é o vetor deslocamento (em unidades de carga por área). - Em ausência de cargas livres no meio entre as placas, a lei de Gauss escrita para
implica que a componente é constante ao longo de (porque no volume entre placas). Em termos físicos: a densidade de carga livre na placa é igual ao fluxo de , e como não há carga livre no espaço entre elas, não varia com . - A densidade superficial de carga livre na placa é
(tomando a direção positiva para o eixo ). - A diferença de potencial entre as placas é obtida integrando o campo:
- A capacitância é definida por
. Se é a área de cada placa e a carga total, então e portanto
Passo 3
Aplicando que
é constante e relacionando com
:
- Como
e é constante, temos - A diferença de potencial entre
(potencial ) e (potencial ) é e como é constante pode sair da integral:
Passo 4
Calcular a integral usando
:
- Substituindo na integral:
- Faça a troca de variável
. Então ou . Quando temos ; quando temos . - A integral vira
- Portanto
Passo 5
Relacionar
com
e encontrar a densidade de carga:
- Voltando à expressão
, e substituindo o valor da integral: - Isolando
: - A carga total na placa (magnitude) é
.
Passo 6
Calcular a capacitância
:
- Usando
e o valor de acima:
Passo 7
Comentário pedagógico e alternativa (opcional, para fixar a ideia):
- Outra forma de ver o problema (mesma resposta) é dividir o espaço entre as placas em fatias infinitesimais de espessura
. Cada fatia age como um capacitor elemental com capacitância não — atenção: a expressão correta para uma fatia em série é usar a resistência ao campo, portanto que leva à mesma integral que fizemos antes e resulta em . Isso mostra que o resultado é consistente com ver o dielétrico variando como uma sequência contínua de capacitâncias em série.