Um capacitor de placas paralelas tem suas placas em \mathrm{x}=0, d e o espaço entre as placas é preenchido com um dielétrico com permissividade \varepsilon=\varepsilon_{0}(1+x / d). Se a placa em \mathrm{x}=\mathrm{d} é mantida em \mathrm{V}_{0}, enquanto a placa em \mathrm{x}=0 estiver aterrada, determine:
(a) a capacitância

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Temos um capacitor de placas paralelas com as placas em \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=d.
  • O espaço entre as placas está preenchido por um dielétrico cuja permissividade depende de x: \varepsilon(x)=\varepsilon_{0}\!\left(1+\frac{x}{d}\right).
  • A placa em \mathrm{x}=d está mantida à tensão \mathrm{V}_{0}.
  • A placa em \mathrm{x}=0 está aterrada (ou seja, potencial zero).
  • Pergunta: determinar a capacitância (assuma que as placas têm área A grande e campo somente na direção x).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Campo elétrico \mathbf{E}(x) e deslocamento elétrico \mathbf{D}(x) estão relacionados pela lei do material do dielétrico: \mathbf{D}(x)=\varepsilon(x)\,\mathbf{E}(x).Aqui \varepsilon(x) é a permissividade local, \mathbf{E} é o campo elétrico e \mathbf{D} é o vetor deslocamento (em unidades de carga por área).
  • Em ausência de cargas livres no meio entre as placas, a lei de Gauss escrita para \mathbf{D} implica que a componente D_x é constante ao longo de x (porque \nabla\cdot\mathbf{D}= \rho_{\text{livre}} = 0 no volume entre placas). Em termos físicos: a densidade de carga livre na placa é igual ao fluxo de \mathbf{D}, e como não há carga livre no espaço entre elas, \mathbf{D} não varia com x.
  • A densidade superficial de carga livre na placa é \sigma = D_x (tomando a direção positiva para o eixo x).
  • A diferença de potencial entre as placas é obtida integrando o campo: V_{0}=\int_{0}^{d} E_x(x)\,dx.
  • A capacitância é definida por C=Q/V_{0}. Se A é a área de cada placa e Q a carga total, então Q=\sigma A e portanto C=\frac{\sigma A}{V_{0}}=\frac{D_x A}{V_{0}}.

Passo 3

Aplicando que D_x é constante e relacionando com E_x(x):
  • Como \mathbf{D}(x)=\varepsilon(x)\mathbf{E}(x) e D_x é constante, temos E_x(x)=\frac{D_x}{\varepsilon(x)}.
  • A diferença de potencial entre \mathrm{x}=0 (potencial 0) e \mathrm{x}=d (potencial V_{0}) é V_{0}=\int_{0}^{d} E_x(x)\,dx=\int_{0}^{d}\frac{D_x}{\varepsilon(x)}\,dxe como D_x é constante pode sair da integral: V_{0}=D_x\int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon(x)}.

Passo 4

Calcular a integral usando \varepsilon(x)=\varepsilon_{0}\!\left(1+\dfrac{x}{d}\right):
  • Substituindo na integral: \int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon(x)}=\int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon_{0}\left(1+\dfrac{x}{d}\right)} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{0}^{d}\frac{dx}{1+\dfrac{x}{d}}.
  • Faça a troca de variável u=1+\dfrac{x}{d}. Então du=\dfrac{dx}{d} ou dx=d\,du. Quando x=0 temos u=1; quando x=d temos u=2.
  • A integral vira \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{u=1}^{2}\frac{d\,du}{u}=\frac{d}{\varepsilon_{0}}\int_{1}^{2}\frac{du}{u} =\frac{d}{\varepsilon_{0}}\ln 2.
  • Portanto \int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon(x)}=\frac{d}{\varepsilon_{0}}\ln 2.

Passo 5

Relacionar D_x com V_{0} e encontrar a densidade de carga:
  • Voltando à expressão V_{0}=D_x\int_{0}^{d}\dfrac{dx}{\varepsilon(x)}, e substituindo o valor da integral: V_{0}=D_x\cdot\frac{d}{\varepsilon_{0}}\ln 2.
  • Isolando D_x: D_x=\frac{\varepsilon_{0}V_{0}}{d\ln 2}.
  • A carga total na placa (magnitude) é Q=\sigma A = D_x A.

Passo 6

Calcular a capacitância C=Q/V_{0}:
  • Usando Q=D_x A e o valor de D_x acima: C=\frac{Q}{V_{0}}=\frac{D_x A}{V_{0}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d\ln 2}.

Passo 7

Comentário pedagógico e alternativa (opcional, para fixar a ideia):
  • Outra forma de ver o problema (mesma resposta) é dividir o espaço entre as placas em fatias infinitesimais de espessura dx. Cada fatia age como um capacitor elemental com capacitância dC=\dfrac{\varepsilon(x)A}{dx} não — atenção: a expressão correta para uma fatia em série é usar a resistência ao campo, portanto \frac{1}{C}=\int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon(x)A},que leva à mesma integral que fizemos antes e resulta em C=\dfrac{\varepsilon_{0}A}{d\ln 2}. Isso mostra que o resultado é consistente com ver o dielétrico variando como uma sequência contínua de capacitâncias em série.

Resposta

C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d\ln 2}.

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