Questão 07

O planeta fictício “alpha 500” com massa “m” executa uma órbita circular com período 3T ao redor de uma estrela de massa " M ". Se uma estrela com 4 vezes a massa da primeira estrela estivesse em órbita à mesma distância, o novo período seria:
A) 3 T.
B) 4 T .
C) 6 T .
D) \mathrm{T} / 4.

Passo 1

O enunciado diz que um planeta de massa m descreve uma órbita circular de raio r em torno de uma estrela de massa M com período T_{1}=3T. Pergunta-se qual seria o novo período T_{2} se a estrela tivesse massa 4M mantendo-se o mesmo raio r. O conteúdo necessário é a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital à massa central.

Passo 2

Escrevendo a terceira lei de Kepler para o caso original, temos
T_{1}^{2} \;=\; \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M}.
Como T_{1}=3T, isso vale
(3T)^{2} \;=\; \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M} \quad\Longrightarrow\quad 9T^{2} = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M}.

Passo 3

Agora aplicamos a mesma lei de Kepler para a estrela de massa 4M. Chamando de T_{2} o novo período,
T_{2}^{2} \;=\; \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,(4M)} \;=\; \frac{1}{4}\,\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M}.

Passo 4

Substituindo \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M}=9T^{2} da equação do passo 2, vem
T_{2}^{2} = \frac{1}{4}\,(9T^{2}) = \frac{9}{4}\,T^{2} \quad\Longrightarrow\quad T_{2} = \frac{3}{2}\,T = 1{,}5\,T.

Resposta

O novo período é \tfrac{3}{2}T, ou seja 1{,}5\,T, que não coincide com nenhuma das alternativas apresentadas.

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