Questão 2 (07 pontos)
(b) Encontre o dominio natural das seguintes funções
g(x)=\sqrt{\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+1}}\'

Passo 1

O enunciado pede o domínio natural da função
g(x)=\sqrt{\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+1}}.
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz (o radicando) precisa estar definida e ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada só admite radicando não negativo: \text{radicando}\ge 0.
  • Há denominadores (x-2) e (x+1), então necessariamente x\neq 2 e x\neq -1 (esses valores tornam a expressão indefinida).
    A partir daqui vamos achar os x que satisfazem essas duas condições simultaneamente.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar o radicando em uma única fração. Temos
\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{3(x+1)-1(x-2)}{(x-2)(x+1)}.
Calcule o numerador:
3(x+1)-1(x-2)=3x+3-x+2=2x+5.
Portanto o radicando fica
\frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}.

Passo 3

Agora formulamos a condição de domínio proveniente da raiz:
\frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}\ge 0,
com a observação adicional de que x\neq 2 e x\neq -1 (esses pontos não estão permitidos porque anulam o denominador). Vou resolver essa inequação racional usando análise de sinais.

Passo 4

Identificar os pontos que anulam numerador ou denominador (os pontos críticos):
  • Numerador zero quando 2x+5=0\Rightarrow x=-\dfrac{5}{2}.
  • Denominador zero quando x-2=0\Rightarrow x=2 e quando x+1=0\Rightarrow x=-1.
    Ordenando os pontos críticos na reta: -\infty,\\\ -\dfrac{5}{2},\\\ -1,\\\ 2,\\\ +\infty.

Passo 5

Análise de sinais por intervalo. É útil ver o sinal de cada fator (2x+5), (x+1) e (x-2) em cada intervalo; o sinal da fração é o produto dos sinais dos fatores (numerador) dividido pelo produto dos sinais do denominador.
Sinais dos fatores:
  • 2x+5 é negativo para x<-\dfrac{5}{2}, zero em x=-\dfrac{5}{2}, positivo para x>-\dfrac{5}{2}.
  • x+1 é negativo para x<-1, zero em x=-1, positivo para x>-1.
  • x-2 é negativo para x<2, zero em x=2, positivo para x>2.
Agora testar cada intervalo (ou combinar os sinais):
  1. Para x<-\dfrac{5}{2} (ex.: x=-3):
  • 2x+5<0, x+1<0, x-2<0.
  • Denominador (x-2)(x+1) tem sinal (-)\cdot(-)=+.
  • Fração: (-)/(+)=(-). Logo a fração é negativa → não satisfaz \ge 0.
  1. Para -\dfrac{5}{2}<x<-1 (ex.: x=-2):
  • 2x+5>0, x+1<0, x-2<0.
  • Denominador: (-)\cdot(-)=+.
  • Fração: (+)/(+)=+. Fração positiva → satisfaz.
  1. Para -1<x<2 (ex.: x=0):
  • 2x+5>0, x+1>0, x-2<0.
  • Denominador: (+)\cdot(-)=-.
  • Fração: (+)/(-)=(-). Fração negativa → não satisfaz.
  1. Para x>2 (ex.: x=3):
  • 2x+5>0, x+1>0, x-2>0.
  • Denominador: (+)\cdot(+)=+.
  • Fração: (+)/(+)=+. Fração positiva → satisfaz.
Quanto aos pontos críticos:
  • Em x=-\dfrac{5}{2} o numerador é zero e o denominador é diferente de zero (porque -\dfrac{5}{2}\neq -1,2), então a fração vale 0. Isso satisfaz \ge 0 e portanto x=-\dfrac{5}{2} pertence ao domínio.
  • Em x=-1 e x=2 o denominador é zero, a expressão não está definida; esses pontos são proibidos.

Passo 6

Juntando tudo: os intervalos onde a fração é não negativa (e onde a expressão está definida) são
\left[-\dfrac{5}{2},-1\right)\quad\text{e}\quad(2,\infty).
Portanto o domínio natural de g é a união desses intervalos.

Resposta

\left[-\dfrac{5}{2},-1\right)\cup(2,\infty)

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