Questão 2 (07 pontos)
(b) Encontre o dominio natural das seguintes funções
(b) Encontre o dominio natural das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede o domínio natural da função
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
- A expressão dentro da raiz (o radicando) precisa estar definida e ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada só admite radicando não negativo:
. - Há denominadores
e , então necessariamente e (esses valores tornam a expressão indefinida).
A partir daqui vamos achar osque satisfazem essas duas condições simultaneamente.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar o radicando em uma única fração. Temos
Calcule o numerador:
Portanto o radicando fica
Passo 3
Agora formulamos a condição de domínio proveniente da raiz:
com a observação adicional de que
e
(esses pontos não estão permitidos porque anulam o denominador). Vou resolver essa inequação racional usando análise de sinais.
Passo 4
Identificar os pontos que anulam numerador ou denominador (os pontos críticos):
- Numerador zero quando
. - Denominador zero quando
e quando .
Ordenando os pontos críticos na reta:.
Passo 5
Análise de sinais por intervalo. É útil ver o sinal de cada fator
,
e
em cada intervalo; o sinal da fração é o produto dos sinais dos fatores (numerador) dividido pelo produto dos sinais do denominador.
Sinais dos fatores:
-
é negativo para , zero em , positivo para . -
é negativo para , zero em , positivo para . -
é negativo para , zero em , positivo para .
Agora testar cada intervalo (ou combinar os sinais):
- Para
(ex.: ):
-
, , . - Denominador
tem sinal . - Fração:
. Logo a fração é negativa → não satisfaz .
- Para
(ex.: ):
-
, , . - Denominador:
. - Fração:
. Fração positiva → satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , . - Denominador:
. - Fração:
. Fração negativa → não satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , . - Denominador:
. - Fração:
. Fração positiva → satisfaz.
Quanto aos pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é diferente de zero (porque ), então a fração vale . Isso satisfaz e portanto pertence ao domínio. - Em
e o denominador é zero, a expressão não está definida; esses pontos são proibidos.
Passo 6
Juntando tudo: os intervalos onde a fração é não negativa (e onde a expressão está definida) são
Portanto o domínio natural de
é a união desses intervalos.