Questão 2 (07 pontos)
(a) Encontre o dominio natural das seguintes funções
(a) Encontre o dominio natural das seguintes funções
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio natural dela.
Informações/condições relevantes que o enunciado fornece e que precisamos checar:
- A presença da raiz quadrada
exige que o radicando seja não negativo: temos que impor . - A expressão está num denominador: devemos garantir que
. - O numerador
é um polinômio definido para todo (logo não impõe restrição adicional).
Passo 2
Impondo a condição da raiz (radicando não negativo).
Resolvemos a inequação
Reescrevendo em forma fatorada:
Para resolver
podemos usar um diagrama de sinais ou lembrar que um produto de dois fatores é não negativo quando os fatores têm o mesmo sinal. As raízes são
e
. Assim os intervalos são:
-
(ambos negativos) ou -
(ambos positivos).
Em notação de intervalo:
Passo 3
Agora impomos que o denominador seja diferente de zero:
Para encontrar os pontos que devemos excluir, resolvemos a igualdade
Elevando ao quadrado (a igualdade é válida porque ambos os lados são
):
Portanto, quando
ou
o denominador fica zero e esses pontos devem ser excluídos do domínio (desde que satisfizessem a condição da raiz, o que aqui acontece).
Passo 4
Combine as duas condições: o domínio precisa satisfazer a condição da raiz e, ao mesmo tempo, excluir
e
.
A condição da raiz deu
e devemos remover os pontos
desse conjunto. Note que
e
, então ambos realmente são removidos.
Passo 5
Escrevendo o domínio resultante em notação de intervalos:
Removendo
do intervalo
separa-se em
.
Removendo
do intervalo
separa-se em
.
Portanto o domínio é a união dessas quatro parcelas:
Passo 6
Verificação rápida nos pontos-limite importantes:
- Em
: , denominador , numerador . Logo está no domínio. - Em
: , denominador , numerador . Logo está no domínio. - Em
: e , o denominador anula-se, então esses pontos são excluídos, conforme feito acima.