Questão 2 (07 pontos)
(a) Encontre o dominio natural das seguintes funções
f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-9}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-9}-4}
e pede o domínio natural dela.
Informações/condições relevantes que o enunciado fornece e que precisamos checar:
  • A presença da raiz quadrada \sqrt{x^{2}-9} exige que o radicando seja não negativo: temos que impor \;x^{2}-9\ge 0.
  • A expressão está num denominador: devemos garantir que \sqrt{x^{2}-9}-4\neq 0.
  • O numerador x+3 é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R} (logo não impõe restrição adicional).

Passo 2

Impondo a condição da raiz (radicando não negativo).
Resolvemos a inequação
x^{2}-9\ge 0.
Reescrevendo em forma fatorada:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Para resolver (x-3)(x+3)\ge 0 podemos usar um diagrama de sinais ou lembrar que um produto de dois fatores é não negativo quando os fatores têm o mesmo sinal. As raízes são x= -3 e x=3. Assim os intervalos são:
  • x\le -3 (ambos negativos) ou
  • x\ge 3 (ambos positivos).
Em notação de intervalo:
\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9\ge 0\}=(-\infty,-3]\cup[3,\infty).

Passo 3

Agora impomos que o denominador seja diferente de zero:
\sqrt{x^{2}-9}-4\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}-9}\neq 4.
Para encontrar os pontos que devemos excluir, resolvemos a igualdade
\sqrt{x^{2}-9}=4.
Elevando ao quadrado (a igualdade é válida porque ambos os lados são \ge 0):
x^{2}-9=16\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5.
Portanto, quando x=5 ou x=-5 o denominador fica zero e esses pontos devem ser excluídos do domínio (desde que satisfizessem a condição da raiz, o que aqui acontece).

Passo 4

Combine as duas condições: o domínio precisa satisfazer a condição da raiz e, ao mesmo tempo, excluir x=5 e x=-5.
A condição da raiz deu
(-\infty,-3]\cup[3,\infty),
e devemos remover os pontos \{-5,5\} desse conjunto. Note que -5\in(-\infty,-3] e 5\in[3,\infty), então ambos realmente são removidos.

Passo 5

Escrevendo o domínio resultante em notação de intervalos:
Removendo -5 do intervalo (-\infty,-3] separa-se em (-\infty,-5)\cup(-5,-3].
Removendo 5 do intervalo [3,\infty) separa-se em [3,5)\cup(5,\infty).
Portanto o domínio é a união dessas quatro parcelas:
(-\infty,-5)\cup(-5,-3]\cup[3,5)\cup(5,\infty).

Passo 6

Verificação rápida nos pontos-limite importantes:
  • Em x=3: \sqrt{3^{2}-9}=0, denominador 0-4=-4\neq 0, numerador 3+3=6. Logo x=3 está no domínio.
  • Em x=-3: \sqrt{(-3)^{2}-9}=0, denominador -4\neq0, numerador -3+3=0. Logo x=-3 está no domínio.
  • Em x=\pm5: \sqrt{5^{2}-9}=\sqrt{16}=4 e \sqrt{(-5)^{2}-9}=4, o denominador anula-se, então esses pontos são excluídos, conforme feito acima.

Resposta

\text{Dom}(f)=(-\infty,-5)\cup(-5,-3]\cup[3,5)\cup(5,\infty).

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