(a) Mostre que f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. (Nada profundo aqui.)
(b) Mostre que derivadas são uma “propriedade local”: se f(x)=g(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo a, então f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a). (Isto significa que, ao calcular f^{\prime}(a), você pode ignorar f(x) para qualquer valor particular x \neq a. Mas é claro que você não pode ignorar f(x) para todo x de uma vez!)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
(a) Mostrar que
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Isto é, mostrar que a definição usual da derivada via incremento h,
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
é equivalente à fórmula com x\to a acima.
(b) Mostrar que derivadas são locais: se existem um intervalo aberto I contendo a tal que f(x)=g(x) para todo x\in I, então
f'(a)=g'(a).
Informações relevantes (que o enunciado dá ou que usaremos):
A definição de derivada em a pela variável incrementada h é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe.
Em (a) é pedido mostrar equivalência com o limite em que a variável tende a a em vez de h tender a 0.
Em (b) é dada a igualdade f(x)=g(x) em algum intervalo aberto contendo a; queremos concluir igualdade das derivadas em a.
Passo 2
Vamos lembrar bem a definição de limite que vamos usar (numa versão \varepsilon-\delta simples e intuitiva): dizer que
\lim_{u\to u_0}\Phi(u)=L
significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que 0<|u-u_0|<\delta vale |\Phi(u)-L|<\varepsilon. Essa é a ferramenta que usamos para comparar limites com mudança de variável. Vou usar essa definição para transformar a afirmação com h\to 0 numa afirmação com x\to a, fazendo a substituição natural x=a+h.
Passo 3
Prova de (a), direção “do h para o x”: suponha que
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L.
Pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|h|<\delta, temos
\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\right|<\varepsilon.
Agora faça a mudança de variável x=a+h. Note que 0<|h|<\delta é equivalente a 0<|x-a|<\delta. Substituindo h=x-a na desigualdade obtemos, para todo x tal que 0<|x-a|<\delta,
\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|<\varepsilon.
Isso diz exatamente que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L.
Portanto o limite com h\to 0 implica o limite com x\to a e o mesmo valor L.
Passo 4
Prova de (a), direção “do x para o h” (para completar a equivalência): suponha agora que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L.
Pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale
\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|<\varepsilon.
Defina h=x-a. Então 0<|x-a|<\delta é equivalente a 0<|h|<\delta, e reescrevendo obtemos, para todo h com 0<|h|<\delta,
\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\right|<\varepsilon.
Isto é exatamente a afirmação
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L.
Portanto os dois limites são equivalentes e têm o mesmo valor. Conclusão de (a): a definição com h\to 0 e a fórmula com x\to a são a mesma coisa, provando a igualdade pedida:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Passo 5
Comentário didático rápido sobre (a) para você na prova: a mudança de variável é exatamente h=x-a. Em provas curtas, fica aceitável escrever: “fazendo x=a+h (ou h=x-a) vemos que h\to 0 sse x\to a”, e então trocar a variável dentro do limite. Se quiser ser mais formal, usa-se o argumento \varepsilon-\delta que fizemos acima.
Passo 6
Prova de (b): suponha que existe um intervalo aberto I com a\in I tal que f(x)=g(x) para todo x\in I. Para todo x\in I com x\neq a temos
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{g(x)-g(a)}{x-a},
porque as diferenças no numerador são iguais (usamos f(a)=g(a) já que a\in I). Assim os quocientes de diferença são idênticos para todos os x suficientemente próximos de a (exceto possivelmente em x=a, onde o quociente não é definido). Agora tome limite x\to a em ambos os lados. Como ambos quocientes coincidem para todos x num vizinhança de a (exceto a), os limites são iguais, isto é,
Pelo item (a) cada um desses limites é a derivada no ponto a, quando existir; portanto
f'(a)=g'(a).
Uma observação importante e útil na prova: basta que f e g coincidam numa vizinhança de a. Se eles diferirem em pontos distantes de a, isso não importa — a derivada em a só “vê” o comportamento arbitrariamente próximo a a.
Passo 7
Exemplinho intuitivo (para fixar na prova): se eu definir g(x)=f(x) para todo x exceto num ponto distante de a, então g'(a)=f'(a). Mesmo que eu mude o valor de f em um ponto isolado que não seja a, isso não altera f'(a) — porque a derivada só depende de valores arbitrariamente próximos a a, não de valores longe. Isso ilustra por que dizemos que a derivada é uma “propriedade local”.