Questão 07: Repita um dos feitos de Oresme e calcule a soma a seguir.
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots+\frac{n}{2^{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita cuja n-ésima parcela é \dfrac{n}{2^{n}}. Ou seja, queremos avaliar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}.
Informações dadas:
  • A sequência de termos é \dfrac{1}{2},\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{16},\dfrac{5}{32},\ldots (a forma geral é \dfrac{n}{2^{n}}).
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da soma infinita dessa série.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e provar devagar a soma da série geométrica básica, porque ela será útil. Para |x|<1 vale:
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explicando: a soma parcial de ordem N é
1+x+x^{2}+\cdots+x^{N}=\frac{1-x^{N+1}}{1-x},
obtida multiplicando a soma por (1-x) e simplificando. Como |x|<1, temos x^{N+1}\to0 quando N\to\infty, então ao passar ao limite obtemos \dfrac{1}{1-x}. Aqui x é uma variável real com |x|<1.

Passo 3

Agora uma maneira direta e elementar (no espírito de Oresme, usando contagem dupla) para somar \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^{n}}. Observe que, para cada n,
n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\\ \text{vezes}}.
Portanto
\frac{n}{2^{n}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{n}}.
Então podemos escrever a soma como soma duplamente indexada:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{n}}.
Aqui cada parcela é positiva, então é permitido trocar a ordem de soma (justificação simples: séries de termos não negativos permitem troca de somas).

Passo 4

Troca a ordem das somas: somando primeiro em n que vai de k até \infty,
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{n}} =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Para um k fixo, a soma interna é uma série geométrica iniciando em n=k:
\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{1/2^{k}}{1-1/2}=\frac{1/2^{k}}{1/2}= \frac{2}{2^{k}}.
Explicando: use-se a fórmula da série geométrica com x=\tfrac{1}{2} e subtraindo os termos anteriores, ou diretamente a fórmula \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}=x^{k}/(1-x).

Passo 5

Substituindo o resultado da soma interna na soma em k,
\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{2^{k}} =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}.
Agora usamos novamente a série geométrica com x=\tfrac{1}{2}:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{1/2}{1/2}=1.
Portanto a soma que queremos vale
2\cdot 1=2.

Passo 6

Vou dar também uma derivação alternativa (útil para fixar a técnica e muito prática em provas): partindo da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},
podemos diferenciar termo a termo (válido para |x|<1) para obter
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x segue
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Colocando x=\tfrac{1}{2} temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=2,
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Resumo intuitivo: a soma pode ser vista como “cada 1/2^n aparece n vezes” (isso permite trocar somas) e ao reorganizar obtemos duas vezes a soma geométrica \sum 1/2^{k}=1, logo o total é 2. Alternativamente, a fórmula geradora \sum n x^{n}=x/(1-x)^{2} aplicada em x=1/2 dá o mesmo valor.

Resposta

2

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