O enunciado pede para calcular a soma infinita cuja n-ésima parcela é \dfrac{n}{2^{n}}. Ou seja, queremos avaliar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}.
Informações dadas:
A sequência de termos é \dfrac{1}{2},\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{16},\dfrac{5}{32},\ldots (a forma geral é \dfrac{n}{2^{n}}).
O objetivo é encontrar o valor numérico da soma infinita dessa série.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e provar devagar a soma da série geométrica básica, porque ela será útil. Para |x|<1 vale:
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explicando: a soma parcial de ordem N é
1+x+x^{2}+\cdots+x^{N}=\frac{1-x^{N+1}}{1-x},
obtida multiplicando a soma por (1-x) e simplificando. Como |x|<1, temos x^{N+1}\to0 quando N\to\infty, então ao passar ao limite obtemos \dfrac{1}{1-x}. Aqui x é uma variável real com |x|<1.
Passo 3
Agora uma maneira direta e elementar (no espírito de Oresme, usando contagem dupla) para somar \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^{n}}. Observe que, para cada n,
n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\\ \text{vezes}}.
Portanto
\frac{n}{2^{n}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{n}}.
Então podemos escrever a soma como soma duplamente indexada:
Explicando: use-se a fórmula da série geométrica com x=\tfrac{1}{2} e subtraindo os termos anteriores, ou diretamente a fórmula \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}=x^{k}/(1-x).
Passo 5
Substituindo o resultado da soma interna na soma em k,
Resumo intuitivo: a soma pode ser vista como “cada 1/2^n aparece n vezes” (isso permite trocar somas) e ao reorganizar obtemos duas vezes a soma geométrica \sum 1/2^{k}=1, logo o total é 2. Alternativamente, a fórmula geradora \sum n x^{n}=x/(1-x)^{2} aplicada em x=1/2 dá o mesmo valor.