QUESTÃO 05: O número
pode ser construído com régua e compasso? Justifique detalhadamente sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o número
pode ser construído com régua e compasso. As informações dadas explícitas são:
- O número em questão é
, isto é, a raiz real da equação . - A pergunta é: “é possível construir
usando apenas régua e compasso?” (resposta com justificativa detalhada).
Passo 2
O que significa “construível com régua e compasso” (definição e ideia principal).
- Intuitivamente: um número real
é construtível se, a partir de um segmento de comprimento (ou equivalente), é possível construir geometricamente um segmento de comprimento usando um número finito de operações com régua não graduada e compasso. - Algebraicamente essa noção tem tradução padrão: os números construtíveis são exatamente os números que pertencem a alguma extensão de corpos obtida por uma cadeia finita de extensões quadráticas a partir de
. Ou seja, existe uma cadeia de corpos
tal que para cada
vale
(cada passo é adjunção da raiz quadrada de um elemento de
) e
.
- Consequência prática que vamos usar: se
é construtível então o grau do corpo sobre , isto é , é uma potência de . Vou explicar por que isso é verdade no passo seguinte.
Passo 3
Prova (explicada) de que o grau de um número construtível é potência de
.
- Cada construção com régua e compasso corresponde a resolver, em cada etapa, problemas que reduzem a equações lineares ou quadráticas cujas coeficientes estão em um corpo já construído. Assim, quando se adjunta uma nova coordenada construtível, o novo corpo é obtido a partir do anterior por adjunção de uma raiz de uma equação quadrática, ou seja por uma extensão de grau
ou . - Formalizando: se a cadeia de corpos acima tem
passos, o grau total é
Cada fator
é
ou
; portanto o produto é uma potência de
(mais precisamente divide
). Logo
é uma potência de
.
- Interpretação prática: se o polinômio mínimo de
sobre tem grau que não é potência de , então não pode ser construído com régua e compasso.
Passo 4
Identificar o polinômio que
satisfaz e determinar seu grau mínimo.
- O número
é raiz de . - Para saber o grau do corpo
sobre precisamos saber o grau do polinômio mínimo de sobre . Se for irreduzível em , então ele é o polinômio mínimo e o grau será . - Vou usar o critério de Eisenstein para verificar irreducibilidade. O enunciado do critério (versão usada aqui) é:
se existe um primotal que -
divide todos os coeficientes do polinômio exceto o coeficiente líder, -
não divide o termo constante,
então o polinômio é irreduzível sobre.
-
- Aplicação ao polinômio
: - Os coeficientes são
(lead), (coeficientes intermediários) e (termo constante). - Tome
. Então divide cada coeficiente intermediário e também divide . Além disso não divide . Assim as condições do critério de Eisenstein são satisfeitas.
- Os coeficientes são
- Conclusão desta etapa:
é irreduzível sobre . Portanto o polinômio mínimo de tem grau , isto é
Passo 5
Concluir que
não é construtível.
- Pelo passo 3 sabemos que qualquer número construtível tem grau sobre
igual a uma potência de . - Pelo passo 4 vimos que
. - Como
não é potência de , isso contradiz a condição necessária para ser construtível. Portanto não pode ser construído com régua e compasso.
Passo 6
Comentário didático e exemplos que ajudam a fixar a ideia.
- Exemplo positivo:
é construtível porque é raiz do polinômio que é irreduzível de grau , e é potência de . - Exemplo análogo ao nosso: a raiz cúbica
tem polinômio mínimo (irreducível por Eisenstein com ), grau , e por isso também não é construtível — o mesmo tipo de argumento usado para . - Moral prática: sempre que o polinômio mínimo sobre
tiver grau não sendo potência de , o número correspondente não pode ser construído com régua e compasso.
Resposta
Não.
não é construtível com régua e compasso, porque seu polinômio mínimo é
(irruduzível por Eisenstein com
), logo
, e
não é potência de
.