QUESTÃO 05: O número \sqrt[5]{3} pode ser construído com régua e compasso? Justifique detalhadamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o número \sqrt[5]{3} pode ser construído com régua e compasso. As informações dadas explícitas são:
  • O número em questão é \sqrt[5]{3}, isto é, a raiz real da equação x^{5}-3=0.
  • A pergunta é: “é possível construir \sqrt[5]{3} usando apenas régua e compasso?” (resposta com justificativa detalhada).

Passo 2

O que significa “construível com régua e compasso” (definição e ideia principal).
  • Intuitivamente: um número real a é construtível se, a partir de um segmento de comprimento 1 (ou equivalente), é possível construir geometricamente um segmento de comprimento a usando um número finito de operações com régua não graduada e compasso.
  • Algebraicamente essa noção tem tradução padrão: os números construtíveis são exatamente os números que pertencem a alguma extensão de corpos obtida por uma cadeia finita de extensões quadráticas a partir de \mathbb{Q}. Ou seja, existe uma cadeia de corpos
\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset F_2\subset\cdots\subset F_k
tal que para cada i vale [F_{i+1}:F_i]=2 (cada passo é adjunção da raiz quadrada de um elemento de F_i) e a\in F_k.
  • Consequência prática que vamos usar: se a é construtível então o grau do corpo \mathbb{Q}(a) sobre \mathbb{Q}, isto é [\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}], é uma potência de 2. Vou explicar por que isso é verdade no passo seguinte.

Passo 3

Prova (explicada) de que o grau de um número construtível é potência de 2.
  • Cada construção com régua e compasso corresponde a resolver, em cada etapa, problemas que reduzem a equações lineares ou quadráticas cujas coeficientes estão em um corpo já construído. Assim, quando se adjunta uma nova coordenada construtível, o novo corpo é obtido a partir do anterior por adjunção de uma raiz de uma equação quadrática, ou seja por uma extensão de grau 1 ou 2.
  • Formalizando: se a cadeia de corpos acima tem k passos, o grau total é
[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=\prod_{i=0}^{k-1}[F_{i+1}:F_i].
Cada fator [F_{i+1}:F_i] é 1 ou 2; portanto o produto é uma potência de 2 (mais precisamente divide 2^k). Logo [\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] é uma potência de 2.
  • Interpretação prática: se o polinômio mínimo de a sobre \mathbb{Q} tem grau que não é potência de 2, então a não pode ser construído com régua e compasso.

Passo 4

Identificar o polinômio que \sqrt[5]{3} satisfaz e determinar seu grau mínimo.
  • O número \alpha=\sqrt[5]{3} é raiz de x^{5}-3.
  • Para saber o grau do corpo \mathbb{Q}(\alpha) sobre \mathbb{Q} precisamos saber o grau do polinômio mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q}. Se x^{5}-3 for irreduzível em \mathbb{Q}[x], então ele é o polinômio mínimo e o grau será 5.
  • Vou usar o critério de Eisenstein para verificar irreducibilidade. O enunciado do critério (versão usada aqui) é:
    se existe um primo p tal que
    1. p divide todos os coeficientes do polinômio exceto o coeficiente líder,
    2. p^2 não divide o termo constante,
      então o polinômio é irreduzível sobre \mathbb{Q}.
  • Aplicação ao polinômio x^{5}-3:
    • Os coeficientes são 1 (lead), 0,0,0,0 (coeficientes intermediários) e -3 (termo constante).
    • Tome p=3. Então 3 divide cada coeficiente intermediário 0 e também divide -3. Além disso 3^2=9 não divide -3. Assim as condições do critério de Eisenstein são satisfeitas.
  • Conclusão desta etapa: x^{5}-3 é irreduzível sobre \mathbb{Q}. Portanto o polinômio mínimo de \alpha=\sqrt[5]{3} tem grau 5, isto é
[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}):\mathbb{Q}]=5.

Passo 5

Concluir que \sqrt[5]{3} não é construtível.
  • Pelo passo 3 sabemos que qualquer número construtível tem grau sobre \mathbb{Q} igual a uma potência de 2.
  • Pelo passo 4 vimos que [\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}):\mathbb{Q}]=5.
  • Como 5 não é potência de 2, isso contradiz a condição necessária para ser construtível. Portanto \sqrt[5]{3} não pode ser construído com régua e compasso.

Passo 6

Comentário didático e exemplos que ajudam a fixar a ideia.
  • Exemplo positivo: \sqrt{2} é construtível porque é raiz do polinômio x^{2}-2 que é irreduzível de grau 2, e 2 é potência de 2.
  • Exemplo análogo ao nosso: a raiz cúbica \sqrt[3]{2} tem polinômio mínimo x^{3}-2 (irreducível por Eisenstein com p=2), grau 3, e por isso também não é construtível — o mesmo tipo de argumento usado para \sqrt[5]{3}.
  • Moral prática: sempre que o polinômio mínimo sobre \mathbb{Q} tiver grau não sendo potência de 2, o número correspondente não pode ser construído com régua e compasso.

Resposta

Não. \sqrt[5]{3} não é construtível com régua e compasso, porque seu polinômio mínimo é x^{5}-3 (irruduzível por Eisenstein com p=3), logo [\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}):\mathbb{Q}]=5, e 5 não é potência de 2.

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