QUESTÃO 03: Use a igualdade
para gerar uma fração contínua.
Utilize essa fração contínua para calcular uma boa aproximação do número
e uma boa aproximação para
.
Utilize essa fração contínua para calcular uma boa aproximação do número
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede duas coisas:
- gerar uma fração contínua a partir dessa igualdade;
- usar essa fração contínua para calcular uma boa aproximação de
e, a partir dela, uma boa aproximação de .
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
- a quantidade
satisfaz .
Passo 2
Vamos transformar a igualdade em uma fração contínua. Começo escrevendo
como
Agora substituo a expressão de
no denominador repetidamente (isto é, uso a igualdade novamente dentro dela). Isso gera a representação infinita
Essa é uma fração contínua simples e periódica, onde todos os coeficientes são
. Em notação compacta de fração contínua dizemos
ou seja, a expansão é toda feita de uns.
Explicação rápida do que é uma fração contínua: truncando essa expansão infinita depois de um certo número de termos obtemos frações racionais chamadas convergentes, que são boas aproximações do número original. Essas frações racionais são obtidas calculando a expressão finita
Passo 3
Vamos calcular os primeiros convergentes (truncamentos) explicitamente, mostrando passo a passo como obter cada um:
Defino os convergentes finitos
por truncamento:
Observação (como se obtêm numeradores e denominadores): para a fração contínua com todos os
vale a recorrência
e o
-ésimo convergente é
. Essas recorrências são precisamente a relação de Fibonacci, logo os
e
são números de Fibonacci sucessivos. Por isso os convergentes são
.
Passo 4
Vamos comentar sobre a qualidade das aproximações: os convergentes alternam lado (um fica acima de
, outro abaixo) e convergem rápido. A escolha do quão “boa” depende do quanto de precisão deseja; cortes práticos na prova costumam usar convergentes como
ou
porque são racionais simples com erro pequeno.
Para dar números concretos, a constante exata é
(valor conhecido). Comparei isso com alguns convergentes:
-
(erro ); -
(erro ); -
(erro ).
Logo
já é uma aproximação muito boa para
com erro da ordem de
.
Passo 5
Agora obter uma aproximação para
. Use a relação entre
e
:
Substituindo a aproximação racional
obtemos
que tem erro em relação ao valor real
da ordem de
. Portanto
é uma boa aproximação racional para
.
Passo 6
Resumo prático (para usar na prova): a partir da identidade dada obtemos a fração contínua periódica
. Os convergentes são frações formadas por números de Fibonacci consecutivos. Uma escolha segura e prática de aproximação é
e, daí,
. Essas frações são simples de lembrar e dão precisão típica suficiente para muitas provas sem calculadora.