QUESTÃO 03: Use a igualdade
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
para gerar uma fração contínua.
Utilize essa fração contínua para calcular uma boa aproximação do número \frac{1+\sqrt{5}}{2} e uma boa aproximação para \sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
e pede duas coisas:
  • gerar uma fração contínua a partir dessa igualdade;
  • usar essa fração contínua para calcular uma boa aproximação de \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} e, a partir dela, uma boa aproximação de \sqrt{5}.
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • a quantidade \displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} satisfaz \displaystyle \varphi=1+\frac{1}{\varphi}.

Passo 2

Vamos transformar a igualdade em uma fração contínua. Começo escrevendo \varphi como
\varphi=1+\frac{1}{\varphi}.
Agora substituo a expressão de \varphi no denominador repetidamente (isto é, uso a igualdade novamente dentro dela). Isso gera a representação infinita
\varphi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}.
Essa é uma fração contínua simples e periódica, onde todos os coeficientes são 1. Em notação compacta de fração contínua dizemos
\varphi=[1;1,1,1,\ldots],
ou seja, a expansão é toda feita de uns.
Explicação rápida do que é uma fração contínua: truncando essa expansão infinita depois de um certo número de termos obtemos frações racionais chamadas convergentes, que são boas aproximações do número original. Essas frações racionais são obtidas calculando a expressão finita
[1;1,\dots,1]\quad\text{(com \(n\) uns)}.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros convergentes (truncamentos) explicitamente, mostrando passo a passo como obter cada um:
Defino os convergentes finitos C_1,C_2,\ldots por truncamento:
C_1=[1]=1,
C_2=[1;1]=1+\frac{1}{1}=2,
C_3=[1;1,1]=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5,
C_4=[1;1,1,1]=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}}=1+\frac{1}{\tfrac{3}{2}}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\approx1,666\ldots,
C_5=[1;1,1,1,1]=\frac{8}{5}=1,6,
C_6=[1;1,1,1,1,1]=\frac{13}{8}=1,625,
C_7=\frac{21}{13}\approx1,6153846,
C_8=\frac{34}{21}\approx1,6190476,
C_9=\frac{55}{34}\approx1,6176471,
C_{10}=\frac{89}{55}\approx1,6181818,
C_{11}=\frac{144}{89}\approx1,6179775,
C_{12}=\frac{233}{144}\approx1,6180556.
Observação (como se obtêm numeradores e denominadores): para a fração contínua com todos os a_k=1 vale a recorrência
p_{-1}=1,\quad p_0=1,\quad p_n=p_{n-1}+p_{n-2},
q_{-1}=0,\quad q_0=1,\quad q_n=q_{n-1}+q_{n-2},
e o n-ésimo convergente é C_n=\dfrac{p_n}{q_n}. Essas recorrências são precisamente a relação de Fibonacci, logo os p_n e q_n são números de Fibonacci sucessivos. Por isso os convergentes são \dfrac{F_{n+1}}{F_n}.

Passo 4

Vamos comentar sobre a qualidade das aproximações: os convergentes alternam lado (um fica acima de \varphi, outro abaixo) e convergem rápido. A escolha do quão “boa” depende do quanto de precisão deseja; cortes práticos na prova costumam usar convergentes como \dfrac{13}{8},\dfrac{89}{55} ou \dfrac{233}{144} porque são racionais simples com erro pequeno.
Para dar números concretos, a constante exata é \varphi\approx1,6180339887\ldots (valor conhecido). Comparei isso com alguns convergentes:
  • \dfrac{13}{8}=1,625 (erro \approx0,006966\ldots);
  • \dfrac{89}{55}\approx1,6181818 (erro \approx0,0001478);
  • \dfrac{233}{144}\approx1,6180556 (erro \approx0,0000216).
Logo \dfrac{233}{144} já é uma aproximação muito boa para \varphi com erro da ordem de 2{,}1\times10^{-5}.

Passo 5

Agora obter uma aproximação para \sqrt{5}. Use a relação entre \varphi e \sqrt{5}:
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{5}=2\varphi-1.
Substituindo a aproximação racional \varphi\approx\dfrac{233}{144} obtemos
\sqrt{5}\approx 2\cdot\frac{233}{144}-1=\frac{466}{144}-\frac{144}{144}=\frac{322}{144}=\frac{161}{72}\approx2,2361111,
que tem erro em relação ao valor real \sqrt{5}\approx2,2360679775\ldots da ordem de 4{,}3\times10^{-5}. Portanto \dfrac{161}{72} é uma boa aproximação racional para \sqrt{5}.

Passo 6

Resumo prático (para usar na prova): a partir da identidade dada obtemos a fração contínua periódica [1;1,1,1,\ldots]. Os convergentes são frações formadas por números de Fibonacci consecutivos. Uma escolha segura e prática de aproximação é
\displaystyle \varphi\approx\frac{233}{144} e, daí, \displaystyle \sqrt{5}\approx\frac{161}{72}. Essas frações são simples de lembrar e dão precisão típica suficiente para muitas provas sem calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx\frac{233}{144}\approx1,618055556\n
\displaystyle \sqrt{5}\approx\frac{161}{72}\approx2,236111111

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