Questão 07: Um retificador controlado de onda completa em ponte ligado a uma fonte de 150 V , 60 Hz , está alimentando uma carga resistiva de 10 \Omega. Se o ângulo de retardo \alpha for de 30^{\circ}, determine:
A tensão média na carga;

Passo 1

O enunciado dá um retificador controlado de onda completa em ponte ligado a uma fonte de 150\\ \text{V}, 60\\ \text{Hz}, alimentando uma carga resistiva R=10\\ \Omega. O ângulo de retardo (firing) é \alpha=30^\circ. A pergunta é: determinar a tensão média na carga.
Dados relevantes listados:
\;V_{\text{rms}}=150\\ \text{V} (tensão eficaz da fonte),
\;f=60\\ \text{Hz},
\;R=10\\ \Omega,
\;\alpha=30^\circ.
Nenhuma outra informação é pedida; vamos calcular a tensão média (valor médio) da tensão de saída sobre um período.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
  • A fonte senoidal pode ser escrita como \;v_s(t)=V_m\sin(\omega t), onde \;V_m é a amplitude (valor de pico) e \;\omega=2\pi f. Vou explicar como obter \;V_m a partir de \;V_{\text{rms}}: para uma senóide pura \;V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2}, logo \;V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.
  • Num retificador controlado em ponte com carga puramente resistiva, cada par de tiristores conduz a partir do instante em que são disparados até o final do semiciclo (quando a tensão de fonte cruza zero). Assim, no semiciclo positivo o par correspondente conduz entre \alpha e \pi; no semiciclo negativo o outro par conduz entre \pi+\alpha e 2\pi. Fora desses intervalos a corrente na carga é zero (pois a carga é resistiva e corrente só flui quando o tiristor é ligado e a tensão instantânea tem a polaridade apropriada).
  • A tensão média na carga é o valor médio da função periódica v_O(t) no período T: \;V_{O,\text{médio}}=\dfrac{1}{T}\int_0^T v_O(t)\,dté. Neste caso podemos calcular integrando os trechos onde há condução e somando. Vou montar a integral correspondente e resolver passo a passo.

Passo 3

Expressar a senóide e calcular V_m:
A senóide é \;v_s(t)=V_m\sin(\omega t). Como foi dada a tensão eficaz \;V_{\text{rms}}=150\\ \text{V}, temos
V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 150\\ \text{V}.
Vou manter isso simbólico por enquanto e depois substituo numericamente.

Passo 4

Montar a expressão da tensão média usando os intervalos de condução:
Durante o primeiro semiciclo, para \theta=\omega t\in[\alpha,\pi], a saída é igual a v_O(\theta)=V_m\sin\theta.
Durante o segundo semiciclo, para \theta\in[\pi+\alpha,2\pi], a ponte reverte a polaridade e a saída efetiva sobre a carga é o valor positivo correspondente (pelo que vale v_O(\theta)=-V_m\sin\theta, que é positivo porque \sin\theta é negativo nesse intervalo). Em outros instantes v_O(\theta)=0.
A média sobre um período ( T=2\pi/\omega) fica
V_{O,\text{médio}}=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta \;+\; \int_{\pi+\alpha}^{2\pi} \big(-V_m\sin\theta\big)\,d\theta\right].é
Aqui usei \theta=\omega t e a fórmula média em termos de \theta divide por 2\pi.

Passo 5

Resolver as integrais passo a passo (ensino das integrais usadas):
A primitiva de \sin\theta é -\cos\theta. Então calculamos cada integral:
Primeira integral:
\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = V_m\big[-\cos\theta\big]_{\alpha}^{\pi} =V_m\big(-\cos\pi+\cos\alpha\big)=V_m(1+\cos\alpha),
pois \cos\pi=-1.
Segunda integral:
\int_{\pi+\alpha}^{2\pi} \big(-V_m\sin\theta\big)\,d\theta = -V_m\big[-\cos\theta\big]_{\pi+\alpha}^{2\pi} = -V_m\big(-\cos 2\pi + \cos(\pi+\alpha)\big).
Como \cos 2\pi=1 e \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, isso dá
- V_m\big(-1 -\cos\alpha\big)=V_m(1+\cos\alpha).
Somando as duas integrais temos 2V_m(1+\cos\alpha). Dividindo por 2\pi obtemos a fórmula fechada:
V_{O,\text{médio}}=\frac{1}{2\pi}\cdot 2V_m(1+\cos\alpha)=\frac{V_m}{\pi}\big(1+\cos\alpha\big).é
Observação didática rápida: esse resultado é específico para carga puramente resistiva (corrente se torna nula entre os disparos), e coincide com o caso \alpha=0 (retificador não-controlado de ponte), que dá V_{O,\text{médio}}=2V_m/\pié, como esperado.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular (passo a passo sem pular contas):
Temos \;V_m=\sqrt{2}\cdot 150\\ \text{V}. O cosseno de \alpha=30^\circ é \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim,
V_{O,\text{médio}}=\frac{V_m}{\pi}\big(1+\cos\alpha\big) =\frac{\sqrt{2}\cdot 150}{\pi}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).é
Posso escrever uma forma simplificada:
V_{O,\text{médio}}=\frac{75\sqrt{2}}{\pi}\big(2+\sqrt{3}\big).é
Agora calculando numericamente (aproximações: \sqrt{2}\approx 1{,}41421, \sqrt{3}\approx 1{,}73205, \pi\approx 3{,}14159):
Calcule passo a passo:
\;2+\sqrt{3}\approx 3{,}73205.
\;75\sqrt{2}\approx 75\cdot 1{,}41421\approx 106{,}0658.
Produto: 106{,}0658\cdot 3{,}73205\approx 395{,}999.
Dividindo por \pi: 395{,}999/3{,}14159\approx 126{,}0\\ \text{V} (aproximadamente).
Portanto a tensão média na carga é aproximadamente 126{,}0\\ \text{V}.

Resposta

126{,}0\\ \text{V} (aprox.)

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