Questão 08: Determine se cada um dos sistemas abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
a) h(t)=e^{-3 t} u(t)
b) h[n]=(1 / 2)^{n} u[n-1]
(i) sem memória
(ii) causal
(iii) estável
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
Temos dois sistemas dados pelo respectivo impulso:
O enunciado pede, para cada sistema, determinar e justificar se ele é:
(i) sem memória; (ii) causal; (iii) estável.\n
Informações relevantes fornecidas:
Para (a) temos um impulso contínuo no tempo com fator exponencial e a função degrau u(t).
Para (b) temos um impulso discreto no tempo com potência (1/2)^n multiplicado por u[n-1].
As definições formais que vamos usar (em passos seguintes) são as regras padrão para sistemas LTI com função resposta ao impulso.
Passo 2
Definição e teste para “sem memória” (memória nula) — explicação didática.\n
Definição: um sistema é sem memória (memoryless) quando, para todo instante t_0 (ou índice n_0), a saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante, e não de valores passados nem futuros.\n
Em termos de resposta ao impulso para sistemas LTI:
Para que y(t) dependa somente de x(t) (sem memória) é necessário que a integral reduza a y(t)=K\,x(t) para alguma constante K. Isso ocorre se, e somente se, h(\tau) for proporcional ao impulso de Dirac: h(\tau)=K\,\delta(\tau). Nesse caso
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} K\delta(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau = K x(t).
Discrete-time: a saída é
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
Para ser sem memória queremos y[n]=K\,x[n], o que acontece se, e só se, h[k]=K\,\delta[k] (onde \delta[k] é o delta de Kronecker). Então apenas h[0] pode ser não nulo.\n
Exemplo rápido: h(t)=3\delta(t) é sem memória; h[n]=2\delta[n] é sem memória. Qualquer h que tenha suporte em tempos diferentes de zero implica dependência de x em instantes distintos de t (memória).\n
Aplicando aos sistemas:
(a) h(t)=e^{-3t}u(t) não é da forma K\delta(t) porque é uma função contínua não singular para t\ge0. Logo tem memória.
(b) h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1] não é da forma K\delta[n] (pois tem termos não nulos para vários n — por exemplo para n=1,2,\dots). Logo tem memória.
Passo 3
Definição e teste para “causalidade” — explicação didática.\n
Definição: um sistema é causal se, para todo instante t_0 (ou índice n_0), a saída y(t_0) (ou y[n_0]) depende apenas de valores da entrada x(t) para t\le t_0 (ou x[n] para n\le n_0). Ou seja: a saída não pode depender do futuro da entrada.\n
Teste prático para sistemas LTI pela resposta ao impulso:
Continuous-time: o sistema é causal se, e somente se, h(t)=0 para todo t<0. Justificativa curta: usando
se existirem \tau<0 tais que h(\tau)\neq0, então esses termos envolvem x(t-\tau) com t-\tau>t, ou seja valores futuros de x, tornando o sistema não causal.
Discrete-time: o sistema é causal se, e somente se, h[k]=0 para todo k<0. Porque
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k],
e se existir algum k<0 com h[k]\neq0, então x[n-k] é x avaliado em índice maior que n (futuro).\n
Aplicação:
(a) h(t)=e^{-3t}u(t). A função degrau u(t) é definida por u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0. Logo h(t)=0 para t<0. Portanto (a) é causal.
(b) h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1]. A função degrau discreta u[n-1] vale 1 para n-1\ge0 (isto é, n\ge1) e vale 0 para n\le0. Assim h[n]=0 para todo n\le0, em particular para todos os n<0 temos h[n]=0. Portanto a condição h[k]=0 para k<0 é satisfeita e o sistema (b) é causal. Observação intuitiva: a resposta ao impulso só começa em n=1, então a saída em n depende de entradas em instantes n-1,n-2,\dots (passado), não do futuro.
Passo 4
Definição e teste para “estabilidade” (BIBO) — explicação didática.\n
Definição BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output) para sistemas LTI: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Uma condição necessária e suficiente para LTI:\n
Continuous-time: o sistema é BIBO estável se, e somente se,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Discrete-time: o sistema é BIBO estável se, e somente se,
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Justificativa breve e intuitiva: para entrada limitada |x(t)|\le M para todo t, a saída via convolução satisfaz
logo se a integral absoluta de h for finita então y(t) fica limitada por M vezes essa integral. Análogo no caso discreto usando soma.\n
Vamos aplicar nos dois casos e calcular as integrais/somas explicitamente.
Passo 5
Estabilidade do sistema (a): cálculo detalhado da integral.\n
Temos
h(t)=e^{-3t}u(t),
portanto |h(t)|=e^{-3t}u(t) (pois e^{-3t}\ge0 para todo t). A integral de interesse é
que é finito. Portanto o sistema (a) é BIBO estável.\n
Comentário intuitivo: a resposta ao impulso decai exponencialmente e integra para um valor finito; assim não amplifica entradas limitadas de forma indefinida.
Passo 6
Estabilidade do sistema (b): cálculo detalhado da soma.\n
Temos
h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n-1].
Como u[n-1]=0 para n\le0 e =1 para n\ge1, a soma absoluta é
Resultado finito, logo a resposta ao impulso é absolutamente somável e o sistema (b) é BIBO estável.\n
Comentário: a energia/área da resposta ao impulso é finita porque os termos decaem geometricamente.
Passo 7
Resumo final das três propriedades para cada sistema (com justificativas condensadas).\n
Memória: ambos os h não são deltas, logo ambos têm memória.\n
Causalidade: (a) tem u(t) que anula h(t) para t<0, logo causal; (b) tem u[n-1] que anula h[n] para n<1 (em particular para todos n<0), então h[n]=0 para n<0 e o sistema é causal.\n
Estabilidade: calculamos \int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt = 1/3 <\infty para (a) e \sum_{n=1}^{\infty} (1/2)^{n}=1<\infty para (b), portanto ambos são BIBO estáveis.
Resposta
a) (i) não\n
a) (ii) sim\n
a) (iii) sim\n
b) (i) não\n
b) (ii) sim\n
b) (iii) sim