Questão 09: Determine se cada um dos sistemas abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear e (iv) estável. As respostas devem ser comprovadas matematicamente.
.
Passo 1
Enunciado: o sistema discreto é dado por
para todo
.
Pergunta: para esse sistema, determine se ele é
(i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear e (iv) estável (BIBO).
Listei acima todas as informações relevantes: a fórmula do sistema e que a análise deve ser feita para todo .
(i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear e (iv) estável (BIBO).
Listei acima todas as informações relevantes: a fórmula do sistema e que a análise deve ser feita para todo
Passo 2
Definição de “sem memória” (memória zero) — explicação didática:
Um sistema é sem memória se, para cada instante , o valor de saída no instante
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
, e não de valores da entrada em instantes diferentes. Uma forma rigorosa: se para quaisquer sinais
e
tais que
temos que as saídas satisfazem
, então o sistema é sem memória.
Um sistema é sem memória se, para cada instante
Aplicando ao sistema:
Considere dois sinais quaisquer e
com
. As respectivas saídas são
Considere dois sinais quaisquer
Como
, segue que
. Isso mostra, segundo a definição, que o valor de saída em
depende somente de
(e do fator escala
, que é conhecido naquele instante).
Portanto, a condição da definição de sistema sem memória é satisfeita.
Passo 3
Definição de causalidade — explicação didática:
Um sistema é causal se, para qualquer instante , a saída
depende apenas de valores de entrada
com
(ou seja, não depende de valores futuros
com
). Uma forma prática de checar: se para quaisquer sinais
e
que coincidem para todos
(isto é,
para todo
), então as saídas coincidem em
:
.
Um sistema é causal se, para qualquer instante
Aplicando ao sistema:
Se para todo
, então em particular
. Usando a expressão do sistema,
Se
Logo, a saída em
não requer nenhum valor de
com índice maior que
.
Portanto, a condição da definição de causalidade é satisfeita.
Passo 4
Definição de linearidade — explicação didática:
Um sistema é linear se satisfaz superposição (aditividade e homogeneidade): para quaisquer sinais ,
e quaisquer escalares
(reais ou complexos), deve valer
Um sistema é linear se satisfaz superposição (aditividade e homogeneidade): para quaisquer sinais
onde
denota a transformada pelo sistema.
Aplicando ao sistema:
Se , então para a combinação linear
temos
Se
Mas
e
. Portanto
A propriedade de superposição é verificada, então a condição da definição de linearidade é satisfeita.
Passo 5
Definição de estabilidade BIBO — explicação didática:
Um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (bounded), isto é, existe tal que
para todo
, produz uma saída limitada: existe
tal que
para todo
.
Um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (bounded), isto é, existe
Análise do sistema:
Suponha que a entrada seja limitada por para todo
. Então a saída satisfaz
Suponha que a entrada seja limitada por
O fator
cresce sem limite quando
(ou
via
), portanto a desigualdade acima não garante que exista um único
finito que sirva para todos os
. Para dar um contraexemplo simples, escolha a entrada constante limitada
que satisfaz
. A saída corresponde a
que é não limitada (os valores
crescem sem limite com
). Assim existe uma entrada limitada que produz uma saída não limitada.
Portanto, a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita.
Passo 6
Resumo do que foi provado (sem repetir literalmente a resposta final): mostramos que o valor de saída em qualquer instante
depende apenas de
(logo a condição de memória zero é satisfeita); mostramos que a saída em
não depende de valores futuros de entrada (logo a condição de causalidade é satisfeita); verificamos a propriedade de superposição com escalares genéricos
(logo a condição de linearidade é satisfeita); e exibimos um contraexemplo (entrada limitada
) que produz saída não limitada
, mostrando que a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita.
Resposta
(i) sem memória
(ii) causal
(iii) linear
(iv) instável (não BIBO-estável)
(ii) causal
(iii) linear
(iv) instável (não BIBO-estável)