Questão 09: Determine se cada um dos sistemas abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear e (iv) estável. As respostas devem ser comprovadas matematicamente.
y[n]=n x[n].

Passo 1

Enunciado: o sistema discreto é dado por
y[n]=n\,x[n]
para todo n\in\mathbb{Z}.
Pergunta: para esse sistema, determine se ele é
(i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear e (iv) estável (BIBO).
Listei acima todas as informações relevantes: a fórmula do sistema e que a análise deve ser feita para todo n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Definição de “sem memória” (memória zero) — explicação didática:
Um sistema é sem memória se, para cada instante n_0, o valor de saída no instante n_0 depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante n_0, e não de valores da entrada em instantes diferentes. Uma forma rigorosa: se para quaisquer sinais x_1[n] e x_2[n] tais que x_1[n_0]=x_2[n_0] temos que as saídas satisfazem y_1[n_0]=y_2[n_0], então o sistema é sem memória.
Aplicando ao sistema:
Considere dois sinais quaisquer x_1[n] e x_2[n] com x_1[n_0]=x_2[n_0]. As respectivas saídas são
y_1[n_0]=n_0\,x_1[n_0]\quad\text{e}\quad y_2[n_0]=n_0\,x_2[n_0].
Como x_1[n_0]=x_2[n_0], segue que y_1[n_0]=y_2[n_0]. Isso mostra, segundo a definição, que o valor de saída em n_0 depende somente de x[n_0] (e do fator escala n_0, que é conhecido naquele instante).
Portanto, a condição da definição de sistema sem memória é satisfeita.

Passo 3

Definição de causalidade — explicação didática:
Um sistema é causal se, para qualquer instante n_0, a saída y[n_0] depende apenas de valores de entrada x[k] com k\le n_0 (ou seja, não depende de valores futuros x[k] com k>n_0). Uma forma prática de checar: se para quaisquer sinais x_1 e x_2 que coincidem para todos k\le n_0 (isto é, x_1[k]=x_2[k] para todo k\le n_0), então as saídas coincidem em n_0: y_1[n_0]=y_2[n_0].
Aplicando ao sistema:
Se x_1[k]=x_2[k] para todo k\le n_0, então em particular x_1[n_0]=x_2[n_0]. Usando a expressão do sistema,
y_1[n_0]=n_0\,x_1[n_0]=n_0\,x_2[n_0]=y_2[n_0].
Logo, a saída em n_0 não requer nenhum valor de x com índice maior que n_0.
Portanto, a condição da definição de causalidade é satisfeita.

Passo 4

Definição de linearidade — explicação didática:
Um sistema é linear se satisfaz superposição (aditividade e homogeneidade): para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e quaisquer escalares a,b (reais ou complexos), deve valer
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n],
onde T\{\cdot\} denota a transformada pelo sistema.
Aplicando ao sistema:
Se T\{x\}[n]=n\,x[n], então para a combinação linear x[n]=a x_1[n]+b x_2[n] temos
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = n\big(a x_1[n] + b x_2[n]\big) = a\,n x_1[n] + b\,n x_2[n].
Mas a\,n x_1[n]=a\,T\{x_1\}[n] e b\,n x_2[n]=b\,T\{x_2\}[n]. Portanto
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
A propriedade de superposição é verificada, então a condição da definição de linearidade é satisfeita.

Passo 5

Definição de estabilidade BIBO — explicação didática:
Um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (bounded), isto é, existe B_x<\infty tal que |x[n]|\le B_x para todo n, produz uma saída limitada: existe B_y<\infty tal que |y[n]|\le B_y para todo n.
Análise do sistema:
Suponha que a entrada seja limitada por |x[n]|\le B_x para todo n. Então a saída satisfaz
|y[n]| = |n|\,|x[n]| \le |n|\,B_x.
O fator |n| cresce sem limite quando n\to\infty (ou n\to -\infty via |n|), portanto a desigualdade acima não garante que exista um único B_y finito que sirva para todos os n. Para dar um contraexemplo simples, escolha a entrada constante limitada
x[n]=1\quad\text{para todo }n,
que satisfaz |x[n]|\le 1. A saída corresponde a
y[n]=n\cdot 1 = n,
que é não limitada (os valores y[n] crescem sem limite com n). Assim existe uma entrada limitada que produz uma saída não limitada.
Portanto, a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita.

Passo 6

Resumo do que foi provado (sem repetir literalmente a resposta final): mostramos que o valor de saída em qualquer instante n_0 depende apenas de x[n_0] (logo a condição de memória zero é satisfeita); mostramos que a saída em n_0 não depende de valores futuros de entrada (logo a condição de causalidade é satisfeita); verificamos a propriedade de superposição com escalares genéricos a,b (logo a condição de linearidade é satisfeita); e exibimos um contraexemplo (entrada limitada x[n]=1) que produz saída não limitada y[n]=n, mostrando que a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita.

Resposta

(i) sem memória
(ii) causal
(iii) linear
(iv) instável (não BIBO-estável)

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