Questão 08. A experiência mostra que 30 \% dos lançamentos de foguete de uma base da NASA foram adiados em virtude do mau tempo. Determine as probabilidades de que em10 lançamentos de foguete daquela base:
a) no máximo 3 sejam adiados em virtude do mau tempo.

Passo 1

O enunciado dá que 30\% dos lançamentos são adiados por mau tempo. Pergunta: em 10 lançamentos, qual é a probabilidade de que, no máximo, 3 sejam adiados por mau tempo?
Informações relevantes listadas:
  • Probabilidade de adiamento em cada lançamento: p=0,30.
  • Número de lançamentos observados: n=10.
  • Queremos a probabilidade de que o número de adiados seja menor ou igual a 3: isto é, P(X\le 3), onde X é o número de adiamentos nos 10 lançamentos.

Passo 2

Agora vamos decidir um modelo para descrever esse tipo de problema (a explicação é importante para você saber reconhecer e usar isso na prova). Quando temos um número fixo de tentativas n (aqui n=10), cada tentativa tem só dois resultados possíveis (adiado ou não), a probabilidade de “sucesso” (adiado) é a mesma em cada tentativa ( p=0,30) e as tentativas são independentes, então o número de adiamentos X segue uma distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k adiamentos é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
Aqui \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k lançamentos foram adiados; em termos de fatorial,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Por exemplo, \binom{10}{2}=\dfrac{10!}{2!\,8!}=\dfrac{10\cdot9}{2\cdot1}=45. Vou usar essa fórmula para calcular P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3) e somar, porque “no máximo 3” significa X=0 ou 1 ou 2 ou 3.

Passo 3

Calculemos cada termo. Anote q=1-p=0,70. Também listamos os coeficientes combinatórios que vamos usar:
\binom{10}{0}=1,\qquad \binom{10}{1}=10,\qquad \binom{10}{2}=45,\qquad \binom{10}{3}=120.

Passo 4

Cálculo de P(X=0):
P(X=0)=\binom{10}{0}p^{0}q^{10}=1\cdot (0,3)^{0}\cdot (0,7)^{10}=(0,7)^{10}.
Calculando potências de 0,7: 0,7^{2}=0,49, 0,7^{4}=0,2401, 0,7^{5}=0,16807, 0,7^{10}=0,0282475249. Logo
P(X=0)\approx 0,0282475249.

Passo 5

Cálculo de P(X=1):
P(X=1)=\binom{10}{1}p^{1}q^{9}=10\cdot 0,3\cdot (0,7)^{9}.
Já temos 0,7^{9}=0,040353607. Então
P(X=1)=10\cdot 0,3\cdot 0,040353607=10\cdot 0,0121060821=0,121060821.

Passo 6

Cálculo de P(X=2):
P(X=2)=\binom{10}{2}p^{2}q^{8}=45\cdot (0,3)^{2}\cdot (0,7)^{8}.
Temos (0,3)^{2}=0,09 e 0,7^{8}=0,05764801. Então
P(X=2)=45\cdot 0,09\cdot 0,05764801=45\cdot 0,0051883209\approx 0,2334744405.

Passo 7

Cálculo de P(X=3):
P(X=3)=\binom{10}{3}p^{3}q^{7}=120\cdot (0,3)^{3}\cdot (0,7)^{7}.
Temos (0,3)^{3}=0,027 e 0,7^{7}=0,0823543. Então
P(X=3)=120\cdot 0,027\cdot 0,0823543=120\cdot 0,0022235661\approx 0,266827932.

Passo 8

Agora somamos os termos para obter P(X\le 3):
P(X\le 3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3).
Substituindo os valores calculados:
P(X\le 3)\approx 0,0282475249+0,121060821+0,2334744405+0,266827932.
Somando:
P(X\le 3)\approx 0,6496107185.
(Verificação rápida: outra forma é calcular 1-\sum_{k=4}^{10}P(X=k), que dá o mesmo resultado.)

Resposta

0,6496107185

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