Questão 08. A experiência mostra que
dos lançamentos de foguete de uma base da NASA foram adiados em virtude do mau tempo. Determine as probabilidades de que em10 lançamentos de foguete daquela base:
a) no máximo 3 sejam adiados em virtude do mau tempo.
a) no máximo 3 sejam adiados em virtude do mau tempo.
Passo 1
O enunciado dá que
dos lançamentos são adiados por mau tempo. Pergunta: em
lançamentos, qual é a probabilidade de que, no máximo,
sejam adiados por mau tempo?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Probabilidade de adiamento em cada lançamento:
. - Número de lançamentos observados:
. - Queremos a probabilidade de que o número de adiados seja menor ou igual a
: isto é, , onde é o número de adiamentos nos lançamentos.
Passo 2
Agora vamos decidir um modelo para descrever esse tipo de problema (a explicação é importante para você saber reconhecer e usar isso na prova). Quando temos um número fixo de tentativas
(aqui
), cada tentativa tem só dois resultados possíveis (adiado ou não), a probabilidade de “sucesso” (adiado) é a mesma em cada tentativa (
) e as tentativas são independentes, então o número de adiamentos
segue uma distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente adiamentos é
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
Aqui
é o número de maneiras de escolher quais
lançamentos foram adiados; em termos de fatorial,
onde
. Por exemplo,
. Vou usar essa fórmula para calcular
e somar, porque “no máximo 3” significa
ou
ou
ou
.
Passo 3
Calculemos cada termo. Anote
. Também listamos os coeficientes combinatórios que vamos usar:
Passo 4
Cálculo de
:
Calculando potências de
:
,
,
,
. Logo
Passo 5
Cálculo de
:
Já temos
. Então
Passo 6
Cálculo de
:
Temos
e
. Então
Passo 7
Cálculo de
:
Temos
e
. Então
Passo 8
Agora somamos os termos para obter
:
Substituindo os valores calculados:
Somando:
(Verificação rápida: outra forma é calcular
, que dá o mesmo resultado.)