Questão 08. A experiência mostra que 30 \% dos lançamentos de foguete de uma base da NASA foram adiados em virtude do mau tempo. Determine as probabilidades de que em10 lançamentos de foguete daquela base:
b) no mínimo 6 sejam adiados em virtude do mau tempo.

Passo 1

O enunciado dá que 30\% dos lançamentos são adiados por mau tempo e pede a probabilidade de que, em 10 lançamentos, no mínimo 6 sejam adiados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • número de ensaios (lançamentos): n=10.
  • probabilidade de adiamento em cada lançamento: 30\%, isto é, p=0,3.
  • queremos a probabilidade de ocorrerem pelo menos 6 adiamentos, ou seja, P(X\ge 6) onde X é o número de adiamentos em 10 lançamentos.

Passo 2

Modelagem e fórmula usada (explicação didática).
Definimos X como o número de lançamentos adiados em 10 tentativas. Se cada lançamento é independente e tem mesma probabilidade p de adiamento, X segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k adiamentos é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Explicando a fórmula:
  • \binom{n}{k} é o número de formas de escolher quais k dos n lançamentos foram adiados; é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) é m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot 1.
  • p^{k} é a probabilidade das k escolhas serem adiamentos (cada uma com probabilidade p).
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade dos outros n-k não serem adiados.
    Queremos P(X\ge 6)=\sum_{k=6}^{10} P(X=k).

Passo 3

Aplicando os parâmetros do problema.
Aqui n=10 e p=0,3. Escrevemos:
P(X\ge 6)=\sum_{k=6}^{10} \binom{10}{k} (0,3)^{k} (0,7)^{10-k},
onde usei 0,7 porque 1-p=1-0,3=0,7.

Passo 4

Calcular os coeficientes combinatórios usados (valores conhecidos para n=10):
\binom{10}{6}=210,\qquad \binom{10}{7}=120,\qquad \binom{10}{8}=45,\qquad \binom{10}{9}=10,\qquad \binom{10}{10}=1.

Passo 5

Calcular termo por termo — k=6. Primeiro as potências:
(0,3)^{6}=0,000729,\qquad (0,7)^{4}=0,2401.
Multiplicando:
\binom{10}{6}(0,3)^{6}(0,7)^{4}=210\cdot 0,000729\cdot 0,2401.
Fazendo as contas (passo a passo):
0,000729\cdot 0,2401=0,0001750329,
210\cdot 0,0001750329=0,036756909.
Portanto o termo k=6 é aproximadamente 0,036756909.

Passo 6

Calcular termo para k=7:
(0,3)^{7}=0,0002187,\qquad (0,7)^{3}=0,343.
\binom{10}{7}(0,3)^{7}(0,7)^{3}=120\cdot 0,0002187\cdot 0,343.
Calculemos:
0,0002187\cdot 0,343=0,0000750141,
120\cdot 0,0000750141=0,009001692.
Termo k=7\approx 0,009001692.

Passo 7

Calcular termo para k=8:
(0,3)^{8}=0,00006561,\qquad (0,7)^{2}=0,49.
\binom{10}{8}(0,3)^{8}(0,7)^{2}=45\cdot 0,00006561\cdot 0,49.
Calculemos:
0,00006561\cdot 0,49=0,0000321489,
45\cdot 0,0000321489=0,0014467005.
Termo k=8\approx 0,0014467005.

Passo 8

Calcular termo para k=9:
(0,3)^{9}=0,000019683,\qquad (0,7)^{1}=0,7.
\binom{10}{9}(0,3)^{9}(0,7)^{1}=10\cdot 0,000019683\cdot 0,7.
Calculemos:
0,000019683\cdot 0,7=0,0000137781,
10\cdot 0,0000137781=0,000137781.
Termo k=9\approx 0,000137781.

Passo 9

Calcular termo para k=10:
(0,3)^{10}=0,0000059049,\qquad (0,7)^{0}=1.
\binom{10}{10}(0,3)^{10}(0,7)^{0}=1\cdot 0,0000059049\cdot 1=0,0000059049.
Termo k=10\approx 0,0000059049.

Passo 10

Somar todos os termos para obter P(X\ge 6):
\begin{aligned} P(X\ge 6)&\approx 0,036756909\\\ &\quad+0,009001692\\\ &\quad+0,0014467005\\\ &\quad+0,000137781\\\ &\quad+0,0000059049 \end{aligned}
Somando:
P(X\ge 6)\approx 0,0473489874.
Arredondando de forma prática (quatro casas decimais): P(X\ge 6)\approx 0,04735, ou em porcentagem cerca de 4,735\%.

Resposta

P(X\ge 6)=0,04735
\approx 4,735\%

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