Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
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Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente ver se o polinômio
$\Delta(s)=s{5}+s{4}+10,s{3}+72,s{2}+152,s+240$
é estável usando o Critério de Routh–Hurwitz.
Conteúdo: montamos a “tabela de Routh” e contamos quantas vezes a primeira coluna muda de sinal.
O que precisamos: organizar os coeficientes em linhas de potências decrescentes e aplicar a fórmula de cada elemento da tabela.
$\Delta(s)=s{5}+s{4}+10,s{3}+72,s{2}+152,s+240$
é estável usando o Critério de Routh–Hurwitz.
Conteúdo: montamos a “tabela de Routh” e contamos quantas vezes a primeira coluna muda de sinal.
O que precisamos: organizar os coeficientes em linhas de potências decrescentes e aplicar a fórmula de cada elemento da tabela.
Passo 2
Primeiro montamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh, pegando alternadamente os coeficientes:
Linha $s^5$ : 1 \quad 10 \quad 152
Linha $s^4$ : 1 \quad 72 \quad 240
Linha $s^4$ : 1 \quad 72 \quad 240
Ou seja,
$ $
$
Passo 3
Agora vamos preencher a linha $s^3$. Cada entrada usa a fórmula
$\displaystyle E = \frac{(primeiro de cima \times segundo de baixo) ;-😭segundo de cima \times primeiro de baixo)}{primeiro de baixo}$.
$\displaystyle E = \frac{(primeiro de cima \times segundo de baixo) ;-😭segundo de cima \times primeiro de baixo)}{primeiro de baixo}$.
- Primeiro elemento (coluna 1):
$\displaystyle \frac{1\cdot10 - 10\cdot1}{1} = \frac{10 - 72}{1} = -62$. - Segundo elemento (coluna 2):
$\displaystyle \frac{1\cdot152 - 10\cdot1}{1} = 152 - 240 = -88$. - E completamos com zero se faltar coluna: 0.
Então a linha $s^3$ fica:
.
Passo 4
Agora a linha $s^2$, usando a mesma ideia mas olhando pra linhas $s^3$ e $s^4$:
- Primeiro elemento:
$\displaystyle \frac{(-62)\cdot72 - 1\cdot(-88)}{-62} = \frac{-4464 + 88}{-62} = \frac{-4376}{-62} = 70{,}58$. - Segundo elemento:
$\displaystyle \frac{(-62)\cdot240 - 1\cdot0}{-62} = \frac{-14880}{-62} = 240$. - E zero pra completar.
Linha $s^2$:
.
Passo 5
Linha $s^1$, combinando $s^2$ e $s^3$:
- Primeiro elemento:
- Numerador:
. - Dividindo por 70{,}58 dá
.
- Numerador:
- E em seguida vem 0 (não tem mais colunas).
Linha $s^1$:
.
Finalmente a linha $s^0$ é só o termo constante: 240.
Passo 6
Olha só a primeira coluna completa:
1 → 1 → –62 → 70{,}58 → 122{,}8 → 240
Contamos as vezes que o sinal muda de positivo pra negativo ou vice-versa:
1→1 (nenhuma), 1→–62 (1 mudança), –62→70{,}58 (2ª mudança), daí em diante só positivos.
1 → 1 → –62 → 70{,}58 → 122{,}8 → 240
Contamos as vezes que o sinal muda de positivo pra negativo ou vice-versa:
1→1 (nenhuma), 1→–62 (1 mudança), –62→70{,}58 (2ª mudança), daí em diante só positivos.
Resposta
O sistema é instável, pois temos 2 mudanças de sinal na primeira coluna, ou seja, 2 polos instáveis.