Questão 08: Determine se o sistema abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
a) h(t)=e^{-3 t} u(t)

Passo 1

O enunciado dá o impulso do sistema
h(t)=e^{-3t}\,u(t),
onde u(t) é a função degrau unitário (ou seja, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge 0).
O que se pede: determinar se o sistema associado a esse h(t) é
  1. sem memória (memoryless),
  2. causal,
  3. estável (BIBO).
    Anotações úteis que já extraí do enunciado: h(t) é uma exponencial decrescente multiplicada por u(t), logo h(t)=0 para t<0 e h(t)>0 para t>0.

Passo 2

Definição e teste para “sem memória”.
  • Definição (intuição): um sistema é sem memória se a saída em um instante t depende apenas da entrada naquele mesmo instante t, nunca de instantes passados ou futuros.
  • Para um sistema linear e invariante no tempo (LTI) descrito por um impulso h(t), a saída é
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Essa fórmula mostra que, em geral, y(t) é combinação dos valores de x em vários instantes (porque a integral soma contribuições para vários \tau).
  • Quando o sistema é sem memória, a expressão acima deve reduzir a algo que dependa apenas de x(t). Isso só acontece se h(\tau) for proporcional ao delta de Dirac, isto é,
h(\tau)=K\,\delta(\tau)
para algum escalar K. Nesse caso a integral vira y(t)=K\,x(t).
Agora verificação: nosso h(t)=e^{-3t}u(t) não é da forma K\,\delta(t) — é uma função suavemente diferente de zero para todos os t>0. Portanto o integral acima envolve valores de x em instantes t-\tau com \tau>0, ou seja, instantes anteriores a t. Conclusão: o sistema guarda memória (não é sem memória).

Passo 3

Definição e teste de causalidade.
  • Definição: um sistema é causal se a saída em t depende apenas da entrada em instantes \le t (ou seja, não depende de entradas futuras).
  • Para LTI, condição equivalente e prática: o sistema é causal se e somente se h(t)=0 para todo t<0. Isso vem da convolução: se h(\tau)=0 para \tau<0, então em y(t)=\int h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau só participam \tau\ge 0, o que dá dependência apenas de x(t-\tau) com t-\tau\le t.
  • No nosso caso h(t)=e^{-3t}u(t). Pela definição de u(t) sabemos que u(t)=0 para t<0, então
h(t)=0\quad\text{para todo }t<0.
Portanto o sistema é causal.

Passo 4

Definição e teste de estabilidade (BIBO).
  • Definição (BIBO): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada (i.e., |x(t)|\le M<\infty para todo t) produz uma saída limitada (i.e., |y(t)|\le N<\infty para todo t).
  • Para sistemas LTI contínuos, condição suficiente e necessária prática: o sistema é BIBO estável se e somente se h(t) for absolutamente integrável, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
  • Calcular a integral para nosso h(t). Como h(t)=0 para t<0 e h(t)=e^{-3t} para t\ge 0,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt = \left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\right]_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.
O resultado é finito ( \tfrac{1}{3}), logo h(t) é absolutamente integrável e o sistema é BIBO estável.

Passo 5

Recapitulando de forma bem direta e com um pouco de encorajamento: esse sistema tem memória (porque o impulso não é um delta), é causal (porque h(t)=0 para t<0) e é estável (porque a integral de |h| converge e vale \tfrac{1}{3}). Força aí — essa é daquelas que caem muito em prova e a verificação é curta se souber as condições!

Resposta

Sem memória: não
Causal: sim
Estável: sim

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