Questão 08: Determine se o sistema abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá o impulso do sistema
onde
é a função degrau unitário (ou seja,
para
e
para
).
O que se pede: determinar se o sistema associado a esse é
O que se pede: determinar se o sistema associado a esse
- sem memória (memoryless),
- causal,
- estável (BIBO).
Anotações úteis que já extraí do enunciado:é uma exponencial decrescente multiplicada por , logo para e para .
Passo 2
Definição e teste para “sem memória”.
- Definição (intuição): um sistema é sem memória se a saída em um instante
depende apenas da entrada naquele mesmo instante , nunca de instantes passados ou futuros. - Para um sistema linear e invariante no tempo (LTI) descrito por um impulso
, a saída é
Essa fórmula mostra que, em geral,
é combinação dos valores de
em vários instantes (porque a integral soma contribuições para vários
).
- Quando o sistema é sem memória, a expressão acima deve reduzir a algo que dependa apenas de
. Isso só acontece se for proporcional ao delta de Dirac, isto é,
para algum escalar
. Nesse caso a integral vira
.
Agora verificação: nosso não é da forma
— é uma função suavemente diferente de zero para todos os
. Portanto o integral acima envolve valores de
em instantes
com
, ou seja, instantes anteriores a
. Conclusão: o sistema guarda memória (não é sem memória).
Agora verificação: nosso
Passo 3
Definição e teste de causalidade.
- Definição: um sistema é causal se a saída em
depende apenas da entrada em instantes (ou seja, não depende de entradas futuras). - Para LTI, condição equivalente e prática: o sistema é causal se e somente se
para todo . Isso vem da convolução: se para , então em só participam , o que dá dependência apenas de com . - No nosso caso
. Pela definição de sabemos que para , então
Portanto o sistema é causal.
Passo 4
Definição e teste de estabilidade (BIBO).
- Definição (BIBO): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada (i.e.,
para todo ) produz uma saída limitada (i.e., para todo ). - Para sistemas LTI contínuos, condição suficiente e necessária prática: o sistema é BIBO estável se e somente se
for absolutamente integrável, isto é,
- Calcular a integral para nosso
. Como para e para ,
Fazendo a integral:
O resultado é finito (
), logo
é absolutamente integrável e o sistema é BIBO estável.
Passo 5
Recapitulando de forma bem direta e com um pouco de encorajamento: esse sistema tem memória (porque o impulso não é um delta), é causal (porque
para
) e é estável (porque a integral de
converge e vale
). Força aí — essa é daquelas que caem muito em prova e a verificação é curta se souber as condições!
Resposta
Sem memória: não
Causal: sim
Estável: sim
Causal: sim
Estável: sim