Questão 08 -

Uma partícula de massa m move-se sobre uma linha reta horizontal realizando um Movimento Harmônico Simples (MHS) em torno do centro O. Inicialmente, a partícula encontra-se na posição de afastamento máximo A em relação a O. Em seguida, percorre uma distância a no primeiro segundo e uma distância b no segundo seguinte, ambas na mesma direção e no mesmo sentido. Pode-se afirmar que a amplitude A desse movimento em função de a e b vale:
a) A=a-b.
b) \mathrm{A}=\frac{2 \mathrm{a}-\mathrm{b}}{3}.
c) A=\frac{2 a^{2}}{3 a-b}.
d) A=\frac{2 a^{2}}{5 a+b}.
e) A=\frac{2 a^{2}}{5 a-b}.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que faz Movimento Harmônico Simples em torno de O com amplitude A. No instante t=0 ela está em x(0)=A. Nos primeiros dois segundos ela percorre, na mesma direção, as distâncias
a = \bigl|x(0)-x(1)\bigr| \quad\text{e}\quad b = \bigl|x(1)-x(2)\bigr|.
Para resolver, vamos usar a lei do MHS
x(t)=A\cos(\omega t)
e as identidades trigonométricas para relacionar a, b e A.

Passo 2

Expressamos a em função de A e \omega. Como o movimento sai de x(0)=A e vai para x(1)=A\cos(\omega), temos
a = x(0)-x(1) = A - A\cos(\omega) = A\bigl(1 - \cos(\omega)\bigr).
Logo,
\frac{a}{A} = 1 - \cos(\omega).

Passo 3

De modo semelhante, de t=1 a t=2 a partícula vai de x(1)=A\cos(\omega) a x(2)=A\cos(2\omega). Então
b = x(1)-x(2) = A\cos(\omega) - A\cos(2\omega) = A\bigl(\cos(\omega) - \cos(2\omega)\bigr).
Usando \cos(2\omega)=2\cos^2(\omega)-1, obtemos
\frac{b}{A} = \cos(\omega)-\bigl(2\cos^2(\omega)-1\bigr) =1+\cos(\omega)-2\cos^2(\omega).

Passo 4

Defina u=\cos(\omega). Das fórmulas acima:
\frac{a}{A}=1-u \quad\Longrightarrow\quad u=1-\frac{a}{A}.
Substituindo em
\frac{b}{A} =1+u-2u^2
vem
\frac{b}{A} =1+\Bigl(1-\tfrac{a}{A}\Bigr) -2\Bigl(1-\tfrac{a}{A}\Bigr)^2 =3\frac{a}{A}-2\Bigl(\frac{a}{A}\Bigr)^2.

Passo 5

Multiplicando a última expressão por A^2
b\,A =3a\,A -2a^2 \quad\Longrightarrow\quad (3a-b)\,A =2a^2 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{2a^2}{3a-b}.

Resposta

A=\displaystyle\frac{2a^2}{3a-b}. (alternativa c)

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