Questão 09 -

Um cilindro uniforme de comprimento \mathbf{L} e massa \mathbf{M} com seção transversal de área A é suspenso, com seu comprimento na vertical, pela extremidade de uma mola de massa desprezível de forma que a metade deste comprimento fica submerso num líquido de densidade \rho na posição de equilíbrio. Deslocando o cilindro da posição de equilíbrio e sendo k a constante de força da mola, a freqüência das pequenas oscilações deste cilindro é
a) \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{k+A \rho g}{M}\right)^{1 / 2}.
b) \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{k-A \rho g}{M}\right)^{1 / 2}.
c) \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{k+\rho g L^{2}}{M}\right)^{1 / 2}.
d) \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{k+A \rho g}{A \rho g}\right)^{1 / 2}.
e) \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{k-A \rho g}{A \rho g}\right)^{1 / 2}.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro uniforme de comprimento \,L, e massa \,M, com seção transversal de área \,A, pendurado verticalmente numa mola de constante \,k, e massa desprezível. Na posição de equilíbrio metade do comprimento L/2 fica submersa num líquido de densidade \rho. Ao deslocar levemente o cilindro dessa posição e soltá-lo, ele executa oscilações verticais. Para achar a frequência das pequenas oscilações, precisamos (1) escrever a condição de equilíbrio estático, (2) ver como mudam as forças para um pequeno deslocamento y, (3) montar a equação de movimento e extrair \omega e, daí, a frequência f.

Passo 2

Condição de equilíbrio estático: na posição em que metade do cilindro está submersa, as forças se equilibram. O peso \,M g, para baixo é compensado pela força elástica da mola \,k x_0, (para cima) mais a força de empuxo de Arquimedes \,F_\text{emp}=\rho g A\,(L/2), (para cima). Assim:
M g \;=\; k\,x_0 \;+\;\rho g A\,\frac{L}{2}.

Passo 3

Para pequenas oscilações, definimos y positivo para baixo a partir da posição de equilíbrio.
  • A mola se alonga em x_0+y, gerando força elástica para cima k(x_0+y).
  • A porção submersa passa de L/2 para L/2+y, aumentando o empuxo em \rho g A\,y para cima.
    O peso M g continua constante para baixo.
O resultado dessas três forças é
F_{\text{resultante}} = M g - k\,(x_0+y) - \rho g A\,( \tfrac{L}{2} + y ).
Como em equilíbrio M g - k x_0 - \rho g A(L/2)=0, permanece só o termo linear em y:
F_{\text{resultante}} = -\bigl(k + \rho g A\bigr)\,y.

Passo 4

Essa força resultante atua na massa M segundo a segunda lei de Newton:
M\,\ddot y = -\bigl(k + \rho g A\bigr)\,y.
Isso é a equação de um MHS com constante efetiva
k_{\text{efetivo}} = k + \rho g A\,,
logo a pulsação é
\omega = \sqrt{\frac{k + \rho g A}{M}}.

Passo 5

A frequência (ciclos por segundo) vale
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{\frac{k + A\,\rho\,g}{M}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k + A\rho g}{M}}.

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