Questão 09 -
Um cilindro uniforme de comprimento
e massa
com seção transversal de área A é suspenso, com seu comprimento na vertical, pela extremidade de uma mola de massa desprezível de forma que a metade deste comprimento fica submerso num líquido de densidade
na posição de equilíbrio. Deslocando o cilindro da posição de equilíbrio e sendo
a constante de força da mola, a freqüência das pequenas oscilações deste cilindro é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro uniforme de comprimento
, e massa
, com seção transversal de área
, pendurado verticalmente numa mola de constante
, e massa desprezível. Na posição de equilíbrio metade do comprimento
fica submersa num líquido de densidade
. Ao deslocar levemente o cilindro dessa posição e soltá-lo, ele executa oscilações verticais. Para achar a frequência das pequenas oscilações, precisamos (1) escrever a condição de equilíbrio estático, (2) ver como mudam as forças para um pequeno deslocamento
, (3) montar a equação de movimento e extrair
e, daí, a frequência
.
Passo 2
Condição de equilíbrio estático: na posição em que metade do cilindro está submersa, as forças se equilibram. O peso
, para baixo é compensado pela força elástica da mola
, (para cima) mais a força de empuxo de Arquimedes
, (para cima). Assim:
Passo 3
Para pequenas oscilações, definimos
positivo para baixo a partir da posição de equilíbrio.
- A mola se alonga em
, gerando força elástica para cima . - A porção submersa passa de
para , aumentando o empuxo em para cima.
O pesocontinua constante para baixo.
O resultado dessas três forças é
Como em equilíbrio
, permanece só o termo linear em
:
Passo 4
Essa força resultante atua na massa
segundo a segunda lei de Newton:
Isso é a equação de um MHS com constante efetiva
logo a pulsação é
Passo 5
A frequência (ciclos por segundo) vale
Resposta
(a)
.