Questão 08) Uma pequena esfera metálica, de raio
, carregada com carga negativa
, é aproximada de um fio de cobre fino, de comprimento
e eletricamente neutro, até que os centros da esfera e do fio estejam distantes de
, sendo a esfera e o fio mantidos fixos nesta posição, conforme a figura. Sabendo-se que o fio será polarizado pela esfera carregada (despreze o efeito de polarização do fio sobre a esfera) a) faça um esboço representando a distribuição de cargas no fio em equilíbrio eletrostático, b) determine a carga elétrica induzida em cada extremidade do fio em termos de
e
, e c) determine a força exercida pela esfera sobre o fio em termos de
e
.
Considere as seguintes hipóteses para a resolução da questão:
- O fio é condutor e a distribuição de cargas superficiais no fio anula o campo elétrico em seu interior.
- O campo elétrico produzido pela esfera sobre o fio pode ser aproximado pelo campo produzido por uma carga puntiforme.
- Considere
, de tal forma que na posição da esfera o campo elétrico produzido pelo fio polarizado possa ser aproximado pelo campo elétrico produzido por um dipolo elétrico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a polarização de um fio condutor de comprimento
quando uma esfera de raio
e carga
é levada a uma distância
do seu centro. O conteúdo da matéria é eletrostática de condutores e dipolos induzidos. Vamos precisar usar: (1) o fato de que cargas livres em um condutor se redistribuem anulando o campo interno; (2) para
, o campo da esfera age quase uniformemente sobre o fio; (3) o fio polarizado se comporta como um dipolo formado por
e
nas extremidades.
Passo 2
Para fazer o esboço da distribuição de cargas no fio, imagine o fio alinhado com o centro da esfera. A extremidade mais próxima da esfera atrai cargas positivas, e a extremidade oposta acumula excesso de cargas negativas, mantendo o interior neutro e com campo zero.
Passo 3
Para determinar a carga induzida
em cada extremidade, note que a esfera cria um campo quase uniforme no fio de módulo aproximado por
em direção radial. Um condutor de comprimento
sujeito a campo uniforme
adquire um dipolo de momento
e, ao impor potencial constante no fio (potencial interno igual), chega-se a
Portanto,
na extremidade próxima e
na oposta.
Passo 4
Para calcular a força de atração entre a esfera
e o dipolo induzido, começamos pelo momento dipolar
A energia potencial de um dipolo axial em campo
é
e a força atraente vale
Passo 5
Com isso, temos a distribuição e os valores de carga e força que o enunciado pedia.
Resposta
a) Extremidade próxima da esfera: carga
. Extremidade oposta: carga
. b)
. c)
, de atração.