Questão 08) Uma pequena esfera metálica, de raio R, carregada com carga negativa -Q, é aproximada de um fio de cobre fino, de comprimento l e eletricamente neutro, até que os centros da esfera e do fio estejam distantes de r, sendo a esfera e o fio mantidos fixos nesta posição, conforme a figura. Sabendo-se que o fio será polarizado pela esfera carregada (despreze o efeito de polarização do fio sobre a esfera) a) faça um esboço representando a distribuição de cargas no fio em equilíbrio eletrostático, b) determine a carga elétrica induzida em cada extremidade do fio em termos de Q, l e r, e c) determine a força exercida pela esfera sobre o fio em termos de Q, l e r.
Considere as seguintes hipóteses para a resolução da questão:
  1. O fio é condutor e a distribuição de cargas superficiais no fio anula o campo elétrico em seu interior.
  2. O campo elétrico produzido pela esfera sobre o fio pode ser aproximado pelo campo produzido por uma carga puntiforme.
  3. Considere r gg l, de tal forma que na posição da esfera o campo elétrico produzido pelo fio polarizado possa ser aproximado pelo campo elétrico produzido por um dipolo elétrico.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a polarização de um fio condutor de comprimento l quando uma esfera de raio R e carga -Q é levada a uma distância r do seu centro. O conteúdo da matéria é eletrostática de condutores e dipolos induzidos. Vamos precisar usar: (1) o fato de que cargas livres em um condutor se redistribuem anulando o campo interno; (2) para rgg l, o campo da esfera age quase uniformemente sobre o fio; (3) o fio polarizado se comporta como um dipolo formado por +q e -q nas extremidades.

Passo 2

Para fazer o esboço da distribuição de cargas no fio, imagine o fio alinhado com o centro da esfera. A extremidade mais próxima da esfera atrai cargas positivas, e a extremidade oposta acumula excesso de cargas negativas, mantendo o interior neutro e com campo zero.

Passo 3

Para determinar a carga induzida q em cada extremidade, note que a esfera cria um campo quase uniforme no fio de módulo aproximado por
Eapprox14pivarepsilon0Qr^2
em direção radial. Um condutor de comprimento l sujeito a campo uniforme E adquire um dipolo de momento
p = q,l
e, ao impor potencial constante no fio (potencial interno igual), chega-se a
q = pl = Q,l4pivarepsilon0,r^2
Portanto, +q na extremidade próxima e -q na oposta.

Passo 4

Para calcular a força de atração entre a esfera Q e o dipolo induzido, começamos pelo momento dipolar
p = q,l = Q,l^24pivarepsilon0,r^2
A energia potencial de um dipolo axial em campo E(r)=Q/(4pivarepsilon0r^2) é
U = -p,E = -Q^2,l^2(4pivarepsilon0)^2,r^4
e a força atraente vale
F = -dUdr = 2,Q^2,l^2(4pivarepsilon0)^2,r^5

Passo 5

Com isso, temos a distribuição e os valores de carga e força que o enunciado pedia.

Resposta

a) Extremidade próxima da esfera: carga +q. Extremidade oposta: carga -q. b) q=dfracQ,l4pivarepsilon0,r^2. c) F=dfrac2,Q^2,l^2(4pivarepsilon0)^2,r^5, de atração.

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