Questão 3 (08 pontos) Considere a função . Essa função é descontínua em algum ponto? Se sim, em qual ou em quais? Fundamente sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y) = xyraizx^2+y^2, & se (x,y)neq(0,0), 0, & se (x,y)=(0,0),
e pergunta se ela é descontínua em algum ponto. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e uso de limites, em particular em pontos onde a definição muda (o ponto (0,0)).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, então raizx^2+y^2 é contínua e não nula. Logo a função (x,y)mapsto xy e a função (x,y)mapsto raizx^2+y^2 são ambas contínuas e a divisão só falharia se o denominador fosse zero, o que não ocorre. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Resta verificar continuidade em (0,0). Isso significa calcular
lim(x,y)to(0,0) xyraizx^2+y^2
e ver se esse limite é igual a f(0,0)=0.
Passo 4
Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Então