Questão 3 (08 pontos) Considere a função f(x, y)=cccx yraizx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0). Essa função é descontínua em algum ponto? Se sim, em qual ou em quais? Fundamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = xyraizx^2+y^2, & se (x,y)neq(0,0), 0, & se (x,y)=(0,0),
e pergunta se ela é descontínua em algum ponto. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e uso de limites, em particular em pontos onde a definição muda (o ponto (0,0)).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, então raizx^2+y^2 é contínua e não nula. Logo a função (x,y)mapsto xy e a função (x,y)mapsto raizx^2+y^2 são ambas contínuas e a divisão só falharia se o denominador fosse zero, o que não ocorre. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar continuidade em (0,0). Isso significa calcular
lim(x,y)to(0,0) xyraizx^2+y^2
e ver se esse limite é igual a f(0,0)=0.

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Então
f(r,theta) = (rcostheta)(rsintheta)raizr^2 = r^2costhetasinthetar = rcosthetasintheta
Isso implica
l|f(r,theta)r| = l|rcosthetasinthetar| <= r,l|costhetasinthetar| <= r2,
pois l|costhetasinthetar|<=12. Como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue que l|f(x,y)r|<= r/2to0.

Passo 5

Concluímos que
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)=0 = f(0,0),
logo f é contínua também em (0,0). Não há, portanto, ponto de descontinuidade.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2; não existe ponto de descontinuidade.

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