Questão 08

Um resistor experimental é construído com um fio cuja resistividade é \rho=5,0 \times 10^{-7} \Omega. m. O fio possui área de seção transversal de 0,20 \mathrm{~mm}^{2} e será ligado a uma fonte de 12 V . Deseja-se que o resistor dissipe 120 W de potência. Determine:
a. A resistência elétrica necessária para que o resistor dissipe a potência especificada.
b. O comprimento de fio que deve ser utilizado.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades abaixo:
Dado:
\rho = 5,0\times 10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
A = 0,20\\ \mathrm{mm}^2
V = 12\\ \mathrm{V}
P = 120\\ \mathrm{W}
Pede-se:
a. A resistência elétrica necessária para que o resistor dissipe a potência especificada.
b. O comprimento do fio L que deve ser utilizado para obter essa resistência.

Passo 2

Vamos encontrar a resistência R a partir da relação entre potência, tensão e resistência. Primeiro, uma breve explicação das fórmulas envolvidas:
  • A potência elétrica dissipada por um resistor pode ser escrita como P=VI, onde V é a tensão aplicada e I é a corrente que passa. Aqui:
    P = V\cdot I.
    Nesta fórmula, P está em watts ( \mathrm{W}), V em volts ( \mathrm{V}) e I em ampères ( \mathrm{A}).
  • A lei de Ohm relaciona V, I e R:
    V = I\cdot R.
    Assim, podemos eliminar I na expressão da potência: substituindo I = \dfrac{V}{R} em P = V\cdot I obtemos
    P = V\cdot\frac{V}{R} = \frac{V^{2}}{R}.
    Portanto, isolando R,
    R = \frac{V^{2}}{P}.
    Aqui, R terá unidade \Omega (ohms).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números dados. Substituindo \,V=12\\ \mathrm{V} e \,P=120\\ \mathrm{W}:
R = \frac{12^{2}}{120} = \frac{144}{120}.
Fazendo a divisão:
R = 1,2\\ \Omega.
Isso responde a letra (a).

Passo 4

Para achar o comprimento L do fio precisamos usar a relação entre resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal. A fórmula é:
R = \rho \frac{L}{A},
onde
  • \rho é a resistividade do material em \Omega\cdot\mathrm{m},
  • L é o comprimento do fio em \mathrm{m},
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m}^{2},
  • R é a resistência em \Omega.
Isolando L obtemos:
L = \frac{R\cdot A}{\rho}.
Antes de substituir, precisamos converter a área dada para unidades SI. Sabendo que 1\\ \mathrm{mm}^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2, temos:
A = 0,20\\ \mathrm{mm}^2 = 0,20\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 2,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula de L os valores \,R=1,2\\ \Omega, \,A=2,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2 e \,\rho=5,0\times 10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}:
L = \frac{1,2 \cdot (2,0\times 10^{-7})}{5,0\times 10^{-7}}.
Calcule o numerador:
1,2 \cdot 2,0\times 10^{-7} = 2,4\times 10^{-7}.
Agora a divisão:
L = \frac{2,4\times 10^{-7}}{5,0\times 10^{-7}} = \frac{2,4}{5,0} = 0,48\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida de unidades e interpretação: \rho tem unidade \Omega\cdot\mathrm{m}, A tem \mathrm{m}^2, então R=\rho L/A \Omega corretamente. O comprimento obtido é 0,48\\ \mathrm{m}, isto é 48\\ \mathrm{cm}. Boa notícia: é um fio curto; se precisar arredondar na prova, mantenha duas casas decimais adequadas ( 0,48\\ \mathrm{m}).

Resposta

(a) R = 1,2\\ \Omega
(b) L = 0,48\\ \mathrm{m}

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