Questão 09 - Para o círculo de raio r o momento polar de inércia em relação ao eixo centroidal é igual a :
A) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{2}}{2}
B) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{4}}{2}
C) I_{z}=\frac{3 \pi \cdot r^{2}}{6}
D) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{2}}{4}
E) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{4}}{4}
Passo 1
O enunciado pede o momento polar de inércia do círculo de raio \,r em relação ao eixo centroidal (eixo z passando pelo centro).
Dados relevantes que o enunciado fornece:
A figura é um disco (área sólida) de raio \,r.
Queremos I_{z}, o momento polar de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide.
São fornecidas alternativas para comparar com o resultado final.
Passo 2
O que é o momento polar de inércia? Vou explicar devagar: é a medida da “resistência” da área ao giro em torno de um eixo perpendicular ao plano da área (o eixo z aqui). Matematicamente, para uma área A no plano, o momento polar de inércia em relação ao ponto (centro) é a integral sobre a área da distância ao quadrado multiplicada pelo elemento de área. Em fórmula:
I_{z}=\iint_{A} \rho^{2}\,dA,
onde \rho é a distância de um ponto qualquer da área ao eixo z (no nosso caso, ao centro do círculo).
Passo 3
Para integrar sobre um círculo é natural usar coordenadas polares. Vou definir:
\rho é a coordenada radial (distância do centro até um ponto), varia de 0 até r.
\theta é o ângulo polar, varia de 0 até 2\pi.
O elemento de área em coordenadas polares é
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: um pequeno anel entre \rho e \rho+d\rho e ângulo d\theta tem área aproximada \text{(comprimento)}\times\text{(espessura)}=(\rho\,d\theta)\cdot d\rho.
Passo 4
Substituindo a expressão de dA na definição de I_{z} obtemos a integral dupla em polares. O integrando \rho^{2} vezes dA=\rho\,d\rho\,d\theta dá \rho^{3}. Os limites são \rho\in[0,r] e \theta\in[0,2\pi]. Então:
Resumo e checagem: o cálculo direto em coordenadas polares deu
I_{z}=\frac{\pi\,r^{4}}{2}.
Uma verificação mental: a relação de momento polar com momentos de inércia planas é I_{z}=I_{x}+I_{y}; para o círculo I_{x}=I_{y}=\pi r^{4}/4, somando dá \pi r^{4}/2 — consistente com o que encontramos.