Questão 09 - Para o círculo de raio r o momento polar de inércia em relação ao eixo centroidal é igual a :
A) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{2}}{2}
B) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{4}}{2}
C) I_{z}=\frac{3 \pi \cdot r^{2}}{6}
D) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{2}}{4}
E) I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{4}}{4}

Passo 1

O enunciado pede o momento polar de inércia do círculo de raio \,r em relação ao eixo centroidal (eixo z passando pelo centro).
Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • A figura é um disco (área sólida) de raio \,r.
  • Queremos I_{z}, o momento polar de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide.
  • São fornecidas alternativas para comparar com o resultado final.

Passo 2

O que é o momento polar de inércia? Vou explicar devagar: é a medida da “resistência” da área ao giro em torno de um eixo perpendicular ao plano da área (o eixo z aqui). Matematicamente, para uma área A no plano, o momento polar de inércia em relação ao ponto (centro) é a integral sobre a área da distância ao quadrado multiplicada pelo elemento de área. Em fórmula:
I_{z}=\iint_{A} \rho^{2}\,dA,
onde \rho é a distância de um ponto qualquer da área ao eixo z (no nosso caso, ao centro do círculo).

Passo 3

Para integrar sobre um círculo é natural usar coordenadas polares. Vou definir:
  • \rho é a coordenada radial (distância do centro até um ponto), varia de 0 até r.
  • \theta é o ângulo polar, varia de 0 até 2\pi.
    O elemento de área em coordenadas polares é
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: um pequeno anel entre \rho e \rho+d\rho e ângulo d\theta tem área aproximada \text{(comprimento)}\times\text{(espessura)}=(\rho\,d\theta)\cdot d\rho.

Passo 4

Substituindo a expressão de dA na definição de I_{z} obtemos a integral dupla em polares. O integrando \rho^{2} vezes dA=\rho\,d\rho\,d\theta \rho^{3}. Os limites são \rho\in[0,r] e \theta\in[0,2\pi]. Então:
I_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \rho^{2}\,(\rho\,d\rho\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \rho^{3}\,d\rho\,d\theta.

Passo 5

Calculo a integral interna (em \rho):
\int_{0}^{r} \rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
Aqui usei a primitiva de \rho^{3}, que é \rho^{4}/4. Não tem segredo — é a regra de potência para integrais.

Passo 6

Agora integro em \theta. Como o resultado da integral interna é constante em \theta, temos
I_{z}=\int_{0}^{2\pi} \frac{r^{4}}{4}\,d\theta = \frac{r^{4}}{4}\cdot \left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \frac{r^{4}}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi\,r^{4}}{2}.
Simplificando 2\pi/4=\pi/2.

Passo 7

Resumo e checagem: o cálculo direto em coordenadas polares deu
I_{z}=\frac{\pi\,r^{4}}{2}.
Uma verificação mental: a relação de momento polar com momentos de inércia planas é I_{z}=I_{x}+I_{y}; para o círculo I_{x}=I_{y}=\pi r^{4}/4, somando dá \pi r^{4}/2 — consistente com o que encontramos.

Resposta

B) \displaystyle I_{z}=\frac{\pi \cdot r^{4}}{2}

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