Questão 05 - Considerando um ângulo \theta=45^{\circ}, pode-se afirmar que o vetor posição \mathbf{r}_{\mathbf{C B}} pode ser representado na forma vetorial cartesiana da seguinte maneira:
A) -2,12 . \mathrm{i}+5,12 . \mathrm{j}+6,00 . \mathrm{k}(\mathrm{ft})
B) -2,12 . \mathrm{i}+5,12 . \mathrm{j}+4,00 . \mathrm{k}(\mathrm{ft})
C) -5,12 . \mathrm{i}-2,12 . \mathrm{j}+6,00 . \mathrm{k}(\mathrm{ft})
D) 2,12 . \mathrm{i}+5,12 . \mathrm{j}+6,00 . \mathrm{k}(\mathrm{ft})
E) -5,12 . \mathrm{i}-2,12 . \mathrm{j}+6,00 . \mathrm{k}(\mathrm{ft})

Passo 1

O enunciado dá apenas que \theta = 45^\circ e pergunta qual das alternativas (A) a (E) representa o vetor posição \mathbf{r}_{\mathbf{C B}} em forma cartesiana. As alternativas fornecem vetores com componentes em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} (valores como -2,12, 5,12, 6,00 etc.).\n
Informações explicitamente fornecidas no enunciado que recebi:
\theta = 45^\circ
e as cinco alternativas (A)–(E) listadas na sua mensagem.\n
O enunciado pede: identificar qual alternativa é igual a \mathbf{r}_{\mathbf{C B}}.\n

Passo 2

Para calcular de fato \mathbf{r}_{\mathbf{C B}} precisamos de informações adicionais que não foram fornecidas na sua mensagem: as coordenadas dos pontos C e B (por exemplo \mathbf{r}_C e \mathbf{r}_B) ou pelo menos medidas/direções que definam a posição relativa entre C e B (uma figura, distâncias, projeções, alturas, etc.). Sem essas informações a questão não é resolvível de modo único — várias posições diferentes de B e C podem gerar vetores distintos, mesmo com \theta=45^\circ.\n

Passo 3

Vou te ensinar, passo a passo, como se resolve esse tipo de problema quando tivermos os dados certos. Primeiro o conceito básico de vetor posição entre dois pontos: se \mathbf{r}_C é o vetor posição do ponto C e \mathbf{r}_B é o vetor posição do ponto B, então o vetor que vai de C para B é
\mathbf{r}_{CB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C.
Expliquei isso porque muita gente confunde a ordem; repito: é sempre destino menos origem. Aqui a origem do vetor é C e o destino é B.\n

Passo 4

Agora como se obtêm as componentes cartesianas quando se conhece uma direção por um ângulo \theta: suponha que, na projeção horizontal (plano xy), o segmento entre as projeções de C e B tenha comprimento d e faça ângulo \theta com o eixo x. Então as componentes horizontais desse deslocamento são
\text{componente em }x = d\cos\theta,\qquad \text{componente em }y = d\sin\theta.
Se há também uma diferença de altura (diferença em z) igual a \Delta z, então a componente em z é \Delta z. Portanto, em termos vetoriais:
\mathbf{r}_{CB} = (d\cos\theta)\,\mathbf{i} + (d\sin\theta)\,\mathbf{j} + (\Delta z)\,\mathbf{k}.
No caso particular \theta=45^\circ sabemos que
\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.
Portanto, se d for conhecido, as componentes x e y serão iguais e valem d\cdot 0{,}7071 (arredondadas, por exemplo, para 2{,}12 se d\approx 3{,}00, porque 3\cdot0{,}7071\approx2{,}121). A componente z depende exclusivamente da diferença de alturas entre B e C.\n

Passo 5

Exemplo concreto (hipotético) para fixar a ideia: suponha que a projeção horizontal do deslocamento de C para B tenha comprimento d=3{,}00 e que B esteja 6{,}00 unidades acima de C ( \Delta z=6{,}00). Então, com \theta=45^\circ,
d\cos45^\circ=3{,}00\cdot0{,}7071\approx2{,}121\approx2{,}12,
d\sin45^\circ\approx2{,}12,
e
\mathbf{r}_{CB}\approx -2{,}12\,\mathbf{i}+5{,}12\,\mathbf{j}+6{,}00\,\mathbf{k}
seria incorreto como exemplo porque eu não defini os sinais (positivo/negativo) das componentes x e y. O sinal depende da direção (se o deslocamento aponta para +x ou -x, +y ou -y). Por isso é essencial conhecer a figura ou as coordenadas: os sinais nas alternativas (por exemplo -2{,}12 ou +2{,}12) são decisivos.\n

Passo 6

Resumo prático de como você deve proceder na hora da prova (se tiver a figura ou coordenadas):
  1. Ler/identificar as coordenadas de C e B ou medir as projeções e alturas na figura.\n
  2. Calcular \mathbf{r}_{CB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C componente a componente.\n
  3. Se só houver uma distância horizontal d e um ângulo \theta, decompor com d\cos\theta e d\sin\theta e usar \Delta z para a componente em k.\n
  4. Comparar o vetor obtido (com sinais e arredondamento) com as alternativas.\n

Passo 7

Conclusão: com apenas a informação \theta=45^\circ e as alternativas eu não tenho dados suficientes para decidir entre (A)–(E). Faltam as coordenadas de C e B ou a figura/dimensões que definam a direção e os sinais das componentes. Se você me enviar a figura ou as coordenadas de C e B, eu aplico imediatamente os passos acima e escolho a alternativa correta, com conta detalhada e explicada.\n

Resposta

Não é possível determinar a alternativa correta pois a figura ou as coordenadas de C e B (informações essenciais) não foram fornecidas.

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